Empty domain (original) (raw)
In first-order logic the empty domain is the empty set having no members. In traditional and classical logic domains are restrictedly non-empty in order that certain theorems be valid. Interpretations with an empty domain are shown to be a trivial case by a convention originating at least in 1927 with Bernays and Schönfinkel (though possibly earlier) but oft-attributed to Quine 1951. The convention is to assign any formula beginning with a universal quantifier the value truth while any formula beginning with an existential quantifier is assigned the value falsehood. This follows from the idea that existentially quantified statements have existential import (i.e. they imply the existence of something) while universally quantified statements do not. This interpretation reportedly stems from
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| dbo:abstract | In first-order logic the empty domain is the empty set having no members. In traditional and classical logic domains are restrictedly non-empty in order that certain theorems be valid. Interpretations with an empty domain are shown to be a trivial case by a convention originating at least in 1927 with Bernays and Schönfinkel (though possibly earlier) but oft-attributed to Quine 1951. The convention is to assign any formula beginning with a universal quantifier the value truth while any formula beginning with an existential quantifier is assigned the value falsehood. This follows from the idea that existentially quantified statements have existential import (i.e. they imply the existence of something) while universally quantified statements do not. This interpretation reportedly stems from George Boole in the late 19th century but this is debatable. In modern model theory, it follows immediately for the truth conditions for quantified sentences: * * In other words, an existential quantification of the open formula φ is true in a model iff there is some element in the domain (of the model) that satisfies the formula; i.e. iff that element has the property denoted by the open formula. A universal quantification of an open formula φ is true in a model iff every element in the domain satisfies that formula. (Note that in the metalanguage, "everything that is such that X is such that Y" is interpreted as a universal generalization of the material conditional "if anything is such that X then it is such that Y". Also, the quantifiers are given their usual objectual readings, so that a positive existential statement has existential import, while a universal one does not.) An analogous case concerns the empty conjunction and the empty disjunction. The semantic clauses for, respectively, conjunctions and disjunctions are given by * * . It is easy to see that the empty conjunction is trivially true, and the empty disjunction trivially false. Logics whose theorems are valid in every, including the empty, domain were first considered by Jaskowski 1934, Mostowski 1951, Hailperin 1953, Quine 1954, Leonard 1956, and Hintikka 1959. While Quine called such logics "inclusive" logic they are now referred to as free logic. (en) Na Lógica de Primeira Ordem o domínio vazio é o conjunto vazio possuindo nenhum membro. Na lógica tradicional e clássica, domínios são restritamente não vazios, a fim de que certos teoremas sejam validados. Interpretações com um domínio vazio são considerados como um caso trivial, por convenção, desde aproximadamente 1927 com Bernays and mas frequentemente atribuida a Quine em 1951. A convenção atribuiu o valor verdade a qualquer fórmula que começa com um quantificador universal enquanto qualquer fórmula começando com quantificador existencial é a atribuído o valor falso. Isso decorre da ideia de que declarações existencialmente quantificadas tem importância existencial (ou seja, que implicam a existência de algo) o mesmo não valendo para declarações universalmente quantificadas. Esta interpretação supostamente resultam de George Boole no final do século 19, porém não se tem certeza.Na moderna Teoria dos Modelos, isto segue imediatamente para as condições de verdade para as sentenças quantificadas: * * Em outras palavras, um quantificador existencial da formula aberta φ é verdade em um modelo se e somente se existir algum elemento do domínio, do modelo, que satisfaça a fórmula, isto é, se e somente se este elemento possui a propriedade denotada pela fórmula aberta. Já um quantificador universal da fórmula aberta φ é verdade em um modelo se e somente se todos elementos do domínio, do modelo, satisfazerem a formula.Note que na metalinguagem, "se tal coisa é X, também é Y" é interpretada como uma generalização universal da condição "se nada é X, então também não é Y". Além disso, são concebidas leituras habituais aos quantificadores, de modo que uma declaração existencial positiva tem importância existencial, enquanto uma universal não.Um caso análogo diz respeito ao conjunto vazio e a disjunção vazia. As cláusulas semânticas para, respectivamente, conjunções e disjunções são dadas por * * . É facil ver que a conjunção vazia é trivialmente verdadeira, e a disjunção vazia é trivialmente falsa.Os primeiros lógicos os quais possuem teoremas que são validos em todos domínios, incluindo os vazios, são Jaskowski 1934, Mostowski 1951, Hailperin 1953, Quine 1954, Leonard 1956, and Hintikka 1959. (pt) |
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