Erdős–Woods number (original) (raw)
En teoría de números, se dice que un entero positivo k es un número de Erdős-Woods si tiene la siguiente propiedad: existe un número entero positivo tal que en la secuencia (a, a + 1, ..., a + k) de enteros consecutivos, cada uno de los elementos tiene un factor común no trivial con uno de los puntos finales. En otras palabras, k es un número de Erdős-Woods si existe un entero positivo tal que para cada entero i entre 0 y k, al menos uno de los máximos comunes divisores MCD (a, a + i) y MCD (a + i, a + k) es mayor que 1.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | En teoria de nombres, es diu que un nombre enter positiu k és un nombre d'Erdős-Woods si té la següent propietat: existeix un nombre positiu a tal que en la seqüència (a, a+1,...,a+k) d'enters consecutius, cada element de la sèrie té un factor comú amb un dels extrems de la sèrie (a i a+k). Dit en altres paraules, k és un nombre d'Erdős-Woods si existeix un nombre enter positiu a que per a cada enter i entre 0 i k, almenys un dels màxims comuns divisors mcd(a,a+i) o mcd(a+i,a+k) sigui estrictament superior a 1. Els primers nombres d'Erdős-Woods són: 16, 22, 34, 36, 46, 56, 64, 66, 70...(es podrien afegir els casos del 0 i l'1 com a casos trivials) La investigació d'aquests nombres prové de la conjectura atribuïda a Paul Erdős: Existeix un enter positiu k tal que cada nombre enter a es determina de forma única per la llista de divisors primers de a, a + 1, …, a + k. Alan R. Woods ho va investigar en la seva tesi de 1981. Woods va conjecturar que sempre que k>1, l'interval[a,a+k] sempre inclou un nombre coprimer als dos extrems de l'interval. Posteriorment va trobar el contraexemple [2184, 2185, …, 2200], amb k = 16. L'any 1989, Dowe va demostrar que existeixen infinits nombres d'Erdős-Woods. Posteriorment, l'any 2003, Cégielsi, Heroult i Richard van demostrar que el conjunt dels nombres d'Erdős-Woods és un conjunt recursiu. (ca) In der Zahlentheorie wird eine natürliche Zahl als Erdős-Woods-Zahl bezeichnet, wenn es eine weitere natürliche Zahl gibt, sodass jede Zahl in der Folge einen gemeinsamen Teiler echt größer eins mit oder aufweist. Für jedes beliebige Folgenglied ist also der größte gemeinsame Teiler mit mindestens einem der Randwerte nicht gleich eins. Die kleinste der unendlich vielen Erdős-Woods-Zahlen ist 16, in der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences sind sie als Folge abgespeichert. Benannt sind sie nach Alan Woods, der mit seiner Dissertation aus dem Jahre 1981 ihre Erforschung initiierte, und Paul Erdős, auf dessen Arbeiten und Problemen Woods aufbaute. (de) En teoría de números, se dice que un entero positivo k es un número de Erdős-Woods si tiene la siguiente propiedad: existe un número entero positivo tal que en la secuencia (a, a + 1, ..., a + k) de enteros consecutivos, cada uno de los elementos tiene un factor común no trivial con uno de los puntos finales. En otras palabras, k es un número de Erdős-Woods si existe un entero positivo tal que para cada entero i entre 0 y k, al menos uno de los máximos comunes divisores MCD (a, a + i) y MCD (a + i, a + k) es mayor que 1. (es) In number theory, a positive integer k is said to be an Erdős–Woods number if it has the following property:there exists a positive integer a such that in the sequence (a, a + 1, …, a + k) of consecutive integers, each of the elements has a non-trivial common factor with one of the endpoints. In other words, k is an Erdős–Woods number if there exists a positive integer a such that for each integer i between 0 and k, at least one of the greatest common divisors gcd(a, a + i) or gcd(a + i, a + k) is greater than 1. (en) En théorie des nombres, un nombre d'Erdős-Woods est un entier naturel k > 1 tel qu'il existe k + 1 entiers strictement positifs consécutifs dont chacun a un facteur commun avec le premier ou le dernier. Les trois premiers nombres d'Erdős-Woods sont 16, 22 et 34 (suite de l'OEIS) et les plus petites valeurs de points initiaux correspondants sont 2 184, 3 521 210 et 47 563 752 566 (suite ). Les recherches sur ces nombres viennent de la conjecture suivante d'Erdős : Il existe un entier k > 1 tel que pour tous entiers a > 1 et b > a + k, PPCM(a, a + 1, …, a + k) et PPCM(b, b + 1, …, b + k) n'ont pas les mêmes facteurs premiers. Alan R. Woods a étudié cette question dans sa thèse de doctorat en logique mathématique sur des problèmes de définissabilité, où il conjecturait que pour tout k > 1, l'intervalle [a, a + k] contient toujours un nombre premier avec chacune des deux extrémités. Ce n'est que par la suite qu'il découvrit le premier contre-exemple, [2184, 2185, …, 2200], avec k = 16. David Dowe a démontré qu'il existe une infinité de nombres d'Erdős-Woods et Cégielski, Heroult et Richard, que l'ensemble de ces nombres est récursif. (fr) In de getaltheorie heet een positief geheel getal k een Erdős–Woods-getal als er een rij van opeenvolgende gehele getallen a, a+1, ..., a+k bestaat, zodanig dat alle elementen in de rij een factor met een van de eindpunten van de rij gemeen hebben. Met andere woorden: geen enkel getal in de rij is relatief priem met beide eindpunten van de rij. De eerste Erdős–Woods-getallen k zijn: 16, 22, 34, 36, 46, 56, 64, 66, 70, ... rij A059756 in OEIS. De corresponderende beginpunten a zijn: 2184, 3521210, 47563752566, 12913165320, 3180417880379694, 2212091405535117414, 3843095117044776029646, 3615758618744894508744, 13151117479433859435440, ... rij A059757 in OEIS. Voor het eerste Erdős–Woods-getal 16 geldt bijvoorbeeld dat van de rij: 2184, ...., 2200 het beginpunt 2184 = 2×3×7×13, en het eindpunt 2200=2×2×2×5×5×11, zodat van de tussenliggende getallen sowieso de even getallen voldoen, evenals de 3-vouden en de 5-vouden. Blijven over: 2189 = 11×199, 2191 = 3×7×13 en 2197 = 13×439, dus 11-, 7- of 13-vouden. (nl) Inom talteori är ett positivt heltal k ett Erdős–Woodstal om det har följande egenskap:det finns ett positivt heltal a sådant att i följden (a, a + 1, …, a + k) har varje element gemensamma faktor med antingen a eller a + k. Talen är uppkallade efter Paul Erdős och . De första Erdős–Woodstalen är 16, 22, 34, 36, 46, 56, 64, 66, 70, 76, 78, 86, 88, 92, 94, 96, 100, 106, 112, 116, 118, 120, 124, 130, 134, 142, 144, 146, 154, 160, 162, 186, 190, 196, 204, 210, 216, 218, 220, 222, 232, 238, 246, 248, 250, 256, 260, 262, 268, 276, 280, 286, 288, 292, 296, 298, 300, 302, 306, 310, 316, 320, 324, 326, 328, 330, 336, 340, 342, 346, 356, 366, 372, 378, 382, 394, 396, 400, 404, 406, 408, 414, 416, 424, 426, 428, 430, … (talföljd i OEIS) (0 och 1 kan också räknas med.) Studien av sådana tal härstammar från följande förmodan av Paul Erdős: Det finns ett positivt heltal k så att varje heltal a bestäms unikt av listan av primtalsdelare av a, a + 1, …, a + k. bevisade 1989 att det finns oändligt många Erdős–Woodstal. (sv) В теории чисел числом Эрдёша — Вудса называется всякое положительное число k, для которого существует положительное целое a такое, что в последовательности [a, a + 1, …, a + k], каждый из элементов имеет нетривиальный общий делитель с одним из её крайних элементов. Другими словами, k — число Эрдёша — Вудса, если имеется положительное целое a, такое, что для любого целого i между 0 и k по меньшей мере один из наибольших общих делителей НОД(a, a + i) и НОД(a + i, a + k) больше единицы. Числа Эрдёша – Вудса образуют последовательность: 16, 22, 34, 36, 46, 56, 64, 66, 70 … (последовательность в OEIS). (ru) |
| dbo:wikiPageID | 2616413 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 3643 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1099037396 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Paul_Erdős dbr:100 dbr:106_(number) dbr:112_(number) dbr:116_(number) dbr:16_(number) dbr:Greatest_common_divisor dbr:56_(number) dbr:66_(number) dbr:70_(number) dbr:76_(number) dbr:78_(number) dbr:86_(number) dbr:88_(number) dbr:92_(number) dbr:94_(number) dbr:96_(number) dbr:64_(number) dbr:22_(number) dbr:34_(number) dbr:36_(number) dbr:46_(number) dbc:Integer_sequences dbr:Number_theory dbr:Mathematical_proof dbc:Paul_Erdős dbr:Positive_integer dbr:Coprime dbr:Recursive_set dbr:Sequence dbr:Set_(mathematics) dbr:Common_factor |
| dbp:formalname | Initial terms of smallest Erdős-Woods intervals corresponding to the terms of A059756 (en) |
| dbp:name | Initial terms of smallest Erdos-Woods intervals (en) |
| dbp:sequencenumber | A059757 (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Harvtxt dbt:Math dbt:Mvar dbt:OEIS dbt:OEIS_el dbt:Reflist dbt:Classes_of_natural_numbers |
| dct:subject | dbc:Integer_sequences dbc:Paul_Erdős |
| rdf:type | yago:Abstraction100002137 yago:Arrangement107938773 yago:Group100031264 yago:Ordering108456993 yago:WikicatIntegerSequences yago:Sequence108459252 yago:Series108457976 |
| rdfs:comment | En teoría de números, se dice que un entero positivo k es un número de Erdős-Woods si tiene la siguiente propiedad: existe un número entero positivo tal que en la secuencia (a, a + 1, ..., a + k) de enteros consecutivos, cada uno de los elementos tiene un factor común no trivial con uno de los puntos finales. En otras palabras, k es un número de Erdős-Woods si existe un entero positivo tal que para cada entero i entre 0 y k, al menos uno de los máximos comunes divisores MCD (a, a + i) y MCD (a + i, a + k) es mayor que 1. (es) In number theory, a positive integer k is said to be an Erdős–Woods number if it has the following property:there exists a positive integer a such that in the sequence (a, a + 1, …, a + k) of consecutive integers, each of the elements has a non-trivial common factor with one of the endpoints. In other words, k is an Erdős–Woods number if there exists a positive integer a such that for each integer i between 0 and k, at least one of the greatest common divisors gcd(a, a + i) or gcd(a + i, a + k) is greater than 1. (en) En teoria de nombres, es diu que un nombre enter positiu k és un nombre d'Erdős-Woods si té la següent propietat: existeix un nombre positiu a tal que en la seqüència (a, a+1,...,a+k) d'enters consecutius, cada element de la sèrie té un factor comú amb un dels extrems de la sèrie (a i a+k). Dit en altres paraules, k és un nombre d'Erdős-Woods si existeix un nombre enter positiu a que per a cada enter i entre 0 i k, almenys un dels màxims comuns divisors mcd(a,a+i) o mcd(a+i,a+k) sigui estrictament superior a 1. Els primers nombres d'Erdős-Woods són: (ca) In der Zahlentheorie wird eine natürliche Zahl als Erdős-Woods-Zahl bezeichnet, wenn es eine weitere natürliche Zahl gibt, sodass jede Zahl in der Folge einen gemeinsamen Teiler echt größer eins mit oder aufweist. Für jedes beliebige Folgenglied ist also der größte gemeinsame Teiler mit mindestens einem der Randwerte nicht gleich eins. Die kleinste der unendlich vielen Erdős-Woods-Zahlen ist 16, in der On-Line Encyclopedia of Integer Sequences sind sie als Folge abgespeichert. (de) En théorie des nombres, un nombre d'Erdős-Woods est un entier naturel k > 1 tel qu'il existe k + 1 entiers strictement positifs consécutifs dont chacun a un facteur commun avec le premier ou le dernier. Les trois premiers nombres d'Erdős-Woods sont 16, 22 et 34 (suite de l'OEIS) et les plus petites valeurs de points initiaux correspondants sont 2 184, 3 521 210 et 47 563 752 566 (suite ). Les recherches sur ces nombres viennent de la conjecture suivante d'Erdős : (fr) In de getaltheorie heet een positief geheel getal k een Erdős–Woods-getal als er een rij van opeenvolgende gehele getallen a, a+1, ..., a+k bestaat, zodanig dat alle elementen in de rij een factor met een van de eindpunten van de rij gemeen hebben. Met andere woorden: geen enkel getal in de rij is relatief priem met beide eindpunten van de rij. De eerste Erdős–Woods-getallen k zijn: 16, 22, 34, 36, 46, 56, 64, 66, 70, ... rij A059756 in OEIS. De corresponderende beginpunten a zijn: Voor het eerste Erdős–Woods-getal 16 geldt bijvoorbeeld dat van de rij: 2184, ...., 2200 (nl) Inom talteori är ett positivt heltal k ett Erdős–Woodstal om det har följande egenskap:det finns ett positivt heltal a sådant att i följden (a, a + 1, …, a + k) har varje element gemensamma faktor med antingen a eller a + k. Talen är uppkallade efter Paul Erdős och . De första Erdős–Woodstalen är (0 och 1 kan också räknas med.) Studien av sådana tal härstammar från följande förmodan av Paul Erdős: Det finns ett positivt heltal k så att varje heltal a bestäms unikt av listan av primtalsdelare av a, a + 1, …, a + k. bevisade 1989 att det finns oändligt många Erdős–Woodstal. (sv) В теории чисел числом Эрдёша — Вудса называется всякое положительное число k, для которого существует положительное целое a такое, что в последовательности [a, a + 1, …, a + k], каждый из элементов имеет нетривиальный общий делитель с одним из её крайних элементов. Другими словами, k — число Эрдёша — Вудса, если имеется положительное целое a, такое, что для любого целого i между 0 и k по меньшей мере один из наибольших общих делителей НОД(a, a + i) и НОД(a + i, a + k) больше единицы. Числа Эрдёша – Вудса образуют последовательность: (ru) |
| rdfs:label | Nombre d'Erdős-Woods (ca) Erdős-Woods-Zahl (de) Número de Erdős-Woods (es) Erdős–Woods number (en) Nombre d'Erdős-Woods (fr) Erdős-Woods-getal (nl) Число Эрдёша — Вудса (ru) Erdős–Woodstal (sv) |
| owl:sameAs | freebase:Erdős–Woods number wikidata:Erdős–Woods number dbpedia-ca:Erdős–Woods number dbpedia-de:Erdős–Woods number dbpedia-es:Erdős–Woods number dbpedia-fr:Erdős–Woods number dbpedia-hu:Erdős–Woods number dbpedia-nl:Erdős–Woods number dbpedia-ro:Erdős–Woods number dbpedia-ru:Erdős–Woods number dbpedia-sv:Erdős–Woods number https://global.dbpedia.org/id/57yKV |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Erdős–Woods_number?oldid=1099037396&ns=0 |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Erdős–Woods_number |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Erdős-Woods_conjecture dbr:Erdos–Woods_number dbr:Erdős-Woods_number dbr:Erdos-Woods_number dbr:Erdős–Woods_conjecture |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:List_of_integer_sequences dbr:100 dbr:16_(number) dbr:56_(number) dbr:66_(number) dbr:70_(number) dbr:76_(number) dbr:78_(number) dbr:86_(number) dbr:88_(number) dbr:92_(number) dbr:94_(number) dbr:96_(number) dbr:64_(number) dbr:Abc_conjecture dbr:22_(number) dbr:34_(number) dbr:36_(number) dbr:46_(number) dbr:Erdős-Woods_conjecture dbr:Erdos–Woods_number dbr:Erdős-Woods_number dbr:List_of_things_named_after_Paul_Erdős dbr:Erdos-Woods_number dbr:Erdős–Woods_conjecture |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Erdős–Woods_number |