Set (mathematics) (original) (raw)

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Un conjunt és una reunió d'objectes ben definits en la intuïció o en el pensament, considerada com una totalitat. Tot i que això sembla una idea senzilla, els conjunts són un dels conceptes més fonamentals en la matemàtica moderna. L'estudi de les estructures dels conjunts possibles, teoria de conjunts, és un camp ric i en continu desenvolupament. Tot i que no va ser inventada fins al segle xix, la teoria de conjunts és avui en dia una part ubiqua de les matemàtiques. La teoria de conjunts pot ser vista com el fonament a partir del qual es poden derivar gairebé totes les matemàtiques.

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dbo:abstract المجموعة أو الفئة (بالإنجليزية: Set)‏ هي مفهوم أساسي في جميع فروع الرياضيات، ويعتبر مفهوم المجموعة من المفاهيم الأولية التي لا تُعرَّف. لكنه يمكن تصور المجموعة على أنها طائفة من الأشياء الموضوعة سوياً، وتسمى هذه الأشياء عناصر المجموعة، وعادة ما تكتب المجموعة باستخدام معقوفتين { } توضع بينهما عناصر المجموعة، فمثلا : هي مجموعة عناصرها : a، b، c. كما تستخدم في وصف المجموعات أيضاَ الصورةحيث هي خاصية أو عبارة رياضية تميز عناصر المجموعة. وقد انشغل علماء الرياضيات في أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين ببناء منظومة منطقية متكاملة لوصف المجموعات، وهو ما أصبح علما من علوم الرياضيات يسمى نظرية المجموعات. ومن أشهر العلماء الذين اشتغلوا بهذه النظرية جورج كانتور (1845-1918) وبرتراند راسل (1872-1970) و ألفريد نورث وايتهيد (1861-1947) وإرنست زيرميلو (1871-1953) وأبراهام فرانكل (1891-1965) وجون فون نيومان (1903-1957) وكورت غودل (1906-1978) وبول كوهين (1934 -). المجموعة في الرياضيات هي من أهم أسس ومواضيع الرياضيات التجريدية. إذا أُريدَ تعريف مبدئي يمكن القول أن كل وحدة تضم أشياء أو عناصر من العالم المادي أو غير المادي، الواقعي أو الخيالي تسمى مجموعة. يمكن للمجموعة أن تكون خالية ولكن لا يمكن لها أن تحتوي على نفس العنصر أكثر من مرة. (ar) Un conjunt és una reunió d'objectes ben definits en la intuïció o en el pensament, considerada com una totalitat. Tot i que això sembla una idea senzilla, els conjunts són un dels conceptes més fonamentals en la matemàtica moderna. L'estudi de les estructures dels conjunts possibles, teoria de conjunts, és un camp ric i en continu desenvolupament. Tot i que no va ser inventada fins al segle xix, la teoria de conjunts és avui en dia una part ubiqua de les matemàtiques. La teoria de conjunts pot ser vista com el fonament a partir del qual es poden derivar gairebé totes les matemàtiques. (ca) Množina je soubor objektů, chápaný jako celek. Objekty množiny se nazývají prvky množiny. Charakterizující vlastnost množiny je, že je jednoznačně určena svými prvky (ale nevšímá si jejich pořadí ani žádné další struktury). Množina, neobsahující žádné prvky se nazývá prázdná množina. V matematice existuje abstraktní teorie množin, zkoumající množiny z formálního hlediska. (cs) Ένα σύνολο είναι κάθε συλλογή σαφώς διακριτών και καλώς καθορισμένων αντικειμένων που προέρχονται από τον χώρο της εμπειρίας (αντικείμενα συγκεκριμένα) ή των διανοημάτων (αντικείμενα αφηρημένα), τα οποία θεωρούνται ως μια ολότητα. Η έννοια του συνόλου είναι «αρχική έννοια» για τα Μαθηματικά, δηλαδή δεν μπορεί να ορισθεί με χρήση απλούστερων εννοιών, γι' αυτό γίνονται αποδεκτά αξιωματικά, χωρίς απόδειξη. Παρόλο που εφευρέθηκε σχετικά πρόσφατα, στο τέλος του 19ο αιώνα, η Θεωρία Συνόλων είναι πια ένα πανταχού παρόν τμήμα των Μαθηματικών και μπορεί να θεωρηθεί το θεμέλιο σχεδόν όλης της επιστήμης των Μαθηματικών. Στην εκπαίδευση, στο μάθημα των Μαθηματικών, κάποια (σχετικά απλά) τμήματά της, όπως τα διαγράμματα Βενν, αρχίζουν να διδάσκονται συνήθως από την ύλη του Γυμνασίου (ή στις αντίστοιχες τάξεις, ανάλογα με τη χώρα), ενώ άλλα (πιο πολύπλοκα) διδάσκονται ως τμήμα της ύλης πανεπιστημιακού επιπέδου. (el) Pri la aliaj signifoj de aro rigardu en Aro. En la matematiko, la nocio de aro estas unu el la plej fundamentaj nocioj. Aro estas kolekto da konsiderataj kiel unu tutaĵo. Aro povas esti malplena, sed ne povas enhavi plurajn ekzemplerojn de unu elemento. La nocio de aro estas tiel fundamenta, ke kutime oni ne difinas ĝin matematike, sed uzas ĝin kiel bazon por difini aliajn matematikajn konceptojn. Oni signas arojn per latinaj majuskloj: A, B, C, D, .. kaj ĝiajn elementojn per minuskloj: a, b, c, d, ... La fakton ke a prezentas elementon de A, simbole oni skribas kiel . (legu: a apartenas al A).La aro kies elementoj estas a, b, c, ... oni skribas jene: A={a; b; c; ...}, kaj la aro de tiuj elementoj, kiuj kontentigas ian P kondiĉon, oni skribas kiel {x ∈ A | P} aŭ {x ∈ A : P}. Ekzemple la aro de ĉiuj naturalaj nombroj kiuj estas malpli ol 100, signatas: , kie N estas aro de naturaj nombroj. * La aro, kiu enhavas neniajn elementojn, nomiĝas malplena aro kaj estas signata per la simbolo ø. Ekzemple, la aro de homoj loĝantaj en la suno estas malplena. * La aro A nomiĝas subaro de B, se ĉiuj elementoj de A apartenas al B kaj skribas: A ⊂ B. Ekzemple, se la A prezentas la aron de ortanguloj, kaj B - la aron de paralelogramoj, tiam A ⊂ B. * Se A ⊂ B kaj B ⊂ A, tiam la aroj A kaj B estas egalaj kaj oni skribas: A=B. * La aro de ĉiuj elementoj de la aroj A kaj B, kiuj apartenas almenaŭ al unu el du nomitaj aroj, nomiĝas kunaĵo de du aroj kaj signatas kiel A ∪ B. * La aro de ĉiuj tiuj elementoj de A kaj B, kiuj apartenas samtempe al ambaŭ aroj, estas nomata komunaĵo de la aroj kaj signatas kiel A ∩ B. Ekzemple, se A={1;2;3;4;5} kaj B={1;3;5;7}, tiam A ∪ B = {1;2;3;4;5;7} kaj A ∩ B ={1;3;5} * La aro de ĉiuj elementoj de la aro A, kiuj ne apartenas samtempe al la aro B, estas nomata diferenco aŭ diferencaro kaj signatas kiel Se estas donita la aroj A kaj B, kaj la regulo, per kiu ni povas kunigi iajn parojn (a; b), kie a ∈ A kaj b ∈ B, oni diras ke estas donita konformeco inter A kaj B, kaj b estas nomata konforma al a.Ekz. inter A={1,5,10,14,20} kaj B={2,3,7} oni povas establi konformon per tia regulo: "al elemento de A konformas ĝia divizoro el B". Ĉi tiu konformo donas sekvajn parojn: (10;2), (14;2), (14;7), (20;2). Inter la du donitaj aroj povas ekzisti ankaŭ inversa konformo. La konformeco inter A kaj B estas unu-al-unua konformeco, se plenumiĝas sekvaj du kondiĉoj: 1. al ĉiu a (a ∈ A) konformas la sola elemento el B;2. ĉiu elemento el B estas konforma por la sola elemento el A. Du aroj estas ekvivalentaj, se inter ili povas establi unu-al-unuan konformecon. Ekz. la aro de naturalaj nombroj {1;2;3;...} kaj la aro de paraj nombroj {2;4;6;...} estas ekvivalentaj, ĉar inter ili oni povas establi unu-al-unuan konformon laŭ regulo: "al ĉiu naturala nombro n konformu la paran nombron 2n". La aroj povas esti ankaŭ finiaj (kun difinita nombro de elementoj) kaj nefiniaj (kun senfina nombro de elementoj). Aro-teorio estas la bazo de moderna matematiko. La aron de ĉiuj subaroj de aro A oni nomas la partaĵa aro de A. La reta vortaro ( subaro Arkivigite je 2006-09-23 per la retarkivo Wayback Machine ) diras ke la aro de ĉiuj subaroj ne havas specialan nomon. (eo) En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Por ejemplo: S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves, lunes, miércoles}AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul} Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números. Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, con las categorías son un de los conceptos fundamentales de la matemática: mediante ellos (o las categorías) puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos. (es) Als Menge wird in der Mathematik ein abstraktes Objekt bezeichnet, das aus der Zusammenfassung einer Anzahl einzelner Objekte hervorgeht. Diese werden dann als die Elemente der Menge bezeichnet. Die Anzahl kann von Null über ein oder mehrere Elemente bis hin zu unendlich vielen reichen. Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik; mit ihrer Betrachtung beschäftigt sich die Mengenlehre. Bei der Bildung einer Menge geht es ausschließlich um die Frage, welche Elemente in ihr enthalten sind. Es muss für jedes Objekt zweifelsfrei feststehen, ob es zur Menge gehört oder nicht (wird diese Bedingung aufgeweicht, gelangt man auf den nichtklassischen Begriff einer Fuzzy-Menge). Der Grenzfall einer Menge, die null Elemente enthält, heißt „leere Menge“. Im Gegensatz zu der Vielzahl sonstiger Mengen, gibt es nur genau eine leere Menge. Beim Begriff der Menge bleibt außer Betracht, ob es unter den Elementen zusätzlich irgendeine Ordnung geben könnte, Mengen sind zunächst ungeordnete Gebilde. Ist eine Reihenfolge der Elemente von Bedeutung, dann spricht man stattdessen von einer endlichen oder unendlichen Folge, wenn sich die Folgenglieder mit den natürlichen Zahlen aufzählen lassen (das erste, das zweite usw.). Endliche Folgen heißen auch Tupel. In einem Tupel oder einer Folge können Elemente auch mehrfach vorkommen, da in der Hauptsache eine Anzahl von Plätzen vergeben wird, die zu besetzen sind. In einer Menge ist dies nicht der Fall, hier geht es nur darum, ob ein bestimmter Gegenstand enthalten oder nicht enthalten ist. Daher gibt es keine Möglichkeit, dass eine Menge ein Element „mehrmals enthalten“ könnte. (Wenn ein Konstrukt gewünscht ist, das wie eine Menge Elemente enthält und zusätzlich eine bestimmte Anzahl von Exemplaren jedes Elements vorsieht, so heißt dies eine Multimenge). In der Mathematik werden häufig Mengen betrachtet, die als ihre Elemente Zahlen oder Punkte eines Raumes enthalten. Das Konzept ist aber auf beliebige Objekte anwendbar: z. B. in der Statistik auf Stichproben, in der Medizin auf Patientenakten, am Marktstand auf eine Tüte mit Früchten. Sogar Mengen können als Elemente einer anderen Menge dienen. Die Elemente einer Menge müssen auch nicht von gleichartiger Sorte sein: Möglich ist z. B. auch die Menge, die aus einem Apfel, der Zahl Fünf, dem Patienten Maier und der leeren Menge besteht (eine Menge aus 4 Elementen). Eine Menge kann, wie im Beispiel soeben, durch reine Aufzählung ihrer Elemente definiert sein, sie kann aber auch durch eine Beschreibung gegeben sein, die die infrage kommenden Elemente allgemein charakterisiert (in diesem Fall ergibt sich eine einheitliche Sorte von Elementen). (de) Matematikan, multzo bat objektu ezberdinen bilduma da. Elementu deritzen objektu hauek edozein eratakoak izan daitezke, besteak beste, zenbakiak, letrak, pertsonak eta koloreak. Elementu horiek multzo baten parte direla esaten da nolabait bertan definiturik baldin badaude. Multzo bat hura osatzen duten elementu guztiek betetzen duten propietate baten bitartez definitu ohi da. Zenbaki arrunten kasuan, esate baterako, zenbaki lehen izatearen propietatea kontuan hartuz gero, multzoa honela adierazi ahal izango litzateke: edo (eu) En mathématiques, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout » (au sens d'omnis). Dans une approche axiomatique, la théorie des ensembles est une théorie de l'appartenance (un élément d'un ensemble est dit « appartenir » à cet ensemble). Le mot ensemble désigne alors un objet du domaine de cette théorie, dont les axiomes régissent les propriétés. La théorie des ensembles est utilisée pour fonder les mathématiques, et dans cette approche tout objet mathématique est in fine un ensemble. Mais la notion d'ensemble est aussi une notion de base qui intervient dans à peu près tous les domaines des mathématiques. (fr) Sa mhatamaitic, rang dea-shainmhínithe eilimintí, is é sin, rang ar féidir a rá go cinnte an ball den rang aon eilimint ar leith nó nach ea. Mar shampla, is tacar iad na ré-uimhreacha, mar is ré-uimhir nó corruimhir gach uimhir. Mar mhalairt, ní féidir tacar a thabhairt ar na huimhreacha móra uile, mar ní cinnte cad is brí le ‘mór’. Is tacar é an tacar folamh nach bhfuil aon eilimint ann. Tá gach uile eilimint sa tacar uilíoch. Is é comhlánú an tacair A an tacar A´, ina bhfuil na heilimintí uile nach bhfuil in A. Tugtar trasnú dhá thacar A is B ar thacar na n-eilimintí uile atá ina mbaill de A is B. Tugtar aontú dhá thacar A is B ar thacar na n-eilimintí uile atá ina mbaill de A nó de B nó den dá cheann. (ga) A set is the mathematical model for a collection of different things; a set contains elements or members, which can be mathematical objects of any kind: numbers, symbols, points in space, lines, other geometrical shapes, variables, or even other sets. The set with no element is the empty set; a set with a single element is a singleton. A set may have a finite number of elements or be an infinite set. Two sets are equal if they have precisely the same elements. Sets are ubiquitous in modern mathematics. Indeed, set theory, more specifically Zermelo–Fraenkel set theory, has been the standard way to provide rigorous foundations for all branches of mathematics since the first half of the 20th century. (en) Dalam matematika, himpunan (disebut juga kumpulan, kelompok, gugus, atau set) dapat dibayangkan sebagai kumpulan benda berbeda yang terdefinisi dengan jelas dan dipandang sebagai satu kesatuan utuh. Dengan terdefinisi yang jelas itu maka dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu objek termasuk anggota suatu himpunan atau bukan. Konsep himpunan seperti saat sekarang ini pertama kali dikemukakan oleh seorang matematikawan Jerman, Georg Cantor, pada akhir abad ke-19. Cantor mendefinisikan himpunan sebagai "Hasil usaha pengumpulan beberapa benda yang memiliki suatu ciri pembeda tertentu dan dapat-diperbedakan dalam intuisi atau pikiran kita (benda-benda itu disebut 'anggota'), menjadi suatu kesatuan". Himpunan merupakan satu di antara konsep dasar matematika, karena hampir semua aspek matematika dapat dibangun dengan konsep himpunan ini. Kajian lebih lanjut mengenai himpunan dipelajari dalam teori himpunan. (in) In matematica, una collezione di elementi rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque elemento fa parte o no del raggruppamento. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi.Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere, persone, figure, ecc., anche non necessariamente omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli oggetti della collezione vanno invece ben definiti e determinati. (it) In de wiskunde is een verzameling een abstract object dat het totaal voorstelt van verschillende objecten, die elementen van de verzameling genoemd worden. Het begrip verzameling is een wiskundig basisbegrip. Dat wil zeggen dat het niet verder gereduceerd (herleid) kan worden tot een samenstel van andere, nog fundamentelere theoretische wiskundige begrippen (axioma's), maar dat het zelf axiomatisch gedefinieerd moet worden. Verzamelingen vormen het studieobject van de verzamelingenleer. De verzameling behoort tot de fundamentele concepten van de wiskunde. De grondslag voor dit wiskundige concept werd aan het einde van de negentiende eeuw gelegd door de Duitse wiskundige Georg Cantor. Hij noemde een verzameling informeel: "een veelheid aan elementen, die volgens een bepaalde definitie bij elkaar horen, en daardoor een geheel vormen". De verzamelingenleer is inmiddels alomtegenwoordig in de wiskunde, en vormt een basis van waaruit bijna de gehele wiskunde kan worden afgeleid. In het wiskundeonderwijs aan de middelbare scholen worden elementaire onderwerpen als venndiagrammen onderwezen, als aanschouwelijke voorstellingen van verzamelingen. Meer geavanceerde concepten komen in een universitaire studie wiskunde aan de orde. Twee verzamelingen zijn identiek als ze dezelfde elementen bevatten. Een verzameling zonder element noemt men een lege verzameling. Bij de beschrijving van een verzameling gaat het uitsluitend om de vraag welke elementen in de verzameling zijn opgenomen. Elementen komen daarom slechts één keer in een verzameling voor. De mandelbrotverzameling is een bekend voorbeeld van een wiskundige verzameling, en bestaat uit die complexe getallen die, nadat er herhaald dezelfde bewerking op is uitgevoerd, naar een eindige waarde itereren. (nl) ( 다른 뜻에 대해서는 집합 (동음이의) 문서를 참고하십시오.) 수학에서 집합(集合, 영어: set)은 특정한 조건에 맞는 별개의 원소들의 모임(a collection of distinct elements)이며, 명확한 기준(표준)에 의하여 주어진 서로 다른 대상들이 모여 이루는 새로운 대상이다. 어떤 대상이 집합에 속하는지 여부는 명확해야 하며, 집합 위에는 순서나 연산 따위의 구조가 주어지지 않는다. 집합은 수학에서 가장 기본적인 개념이다. 집합론은 19세기 말에 개발되어 다른 수학 이론들에 비해 젊은 편이나, 거의 모든 수학 이론을 전개하는 토대로 삼을 수 있다. 엄밀하지 않게 정의할 때, 집합은 주어진 성질을 만족시키는 대상들의 모임이다. 이러한 대상들을 집합의 원소라고 한다. (퍼지 집합이나 고유 모임과 달리,) 대상이 집합의 원소인지는 항상 애매하지 않고 명확해야 하며, 속하거나 속하지 않거나 둘 중 정확히 하나여야 한다. (중복집합과 달리,) 집합의 원소들은 서로 다르며, 같은 원소가 여러 개 있을 수는 없다. (수학에서 연구되는 여러 종류의 구조와 달리,) 집합의 원소들 사이에는 대소 관계나 선후 관계와 같은, 순서에 따른 구분이 없으며, 덧셈이나 곱셈과 같은 연산이 주어지지 않는다. 소박한 집합론은 위와 같은 엄밀하지 않은 전제에 기초하는 집합론이며, 러셀의 역설을 비롯한 여러 가지 역설을 함의한다. 공리적 집합론은 이를 해결하기 위해 등장한 집합론이다. 공리적 집합론에서는 집합을 무정의 용어로 두거나, 단순히 집합을 구별하는 단항 조건 기호를 사용한다. 이 경우, 집합 자체의 정의를 시도하기 보다는 전체 집합론이 가지고 있는 공리들이 집합의 성질을 설명한다. 예를 들어, 는 원소가 같은 두 집합은 같아야 한다는 뜻을 지닌다. 대개 집합은 대문자 로 표기하며, 원소는 소문자 로 표기한다. 가 의 원소임을 와 같이 표기하며, 가 의 원소가 아님을 와 같이 표기한다. (ko) 集合（しゅうごう、英: set, 仏: ensemble, 独: Menge）とは数学における概念の1つで、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、英: element; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、英: system) や族 (ぞく、英: family) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、（「加法的な性質を持つ」集合族）など。 (ja) Zbiór (dawniej także mnogość) – pojęcie pierwotne aksjomatycznej teorii mnogości (zwanej też teorią zbiorów) leżące u podstaw całej matematyki; idealizacja intuicyjnie rozumianego zbioru (zestawu, kolekcji) utworzonego z elementów (komponentów, składowych), która jest efektem abstrahowania od wewnętrznej struktury modelowanego obiektu i wzajemnych zależności między jego elementami (np. hierarchii, czy kolejności). (pl) Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; представляющее собой набор, совокупность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элементов этого множества. Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности одинаковые элементы. Изучением общих свойств множеств занимаются теория множеств, а также смежные разделы математики и математической логики. Примеры: множество жителей заданного города, множество непрерывных функций, множество решений заданного уравнения. Множество может быть пустым и непустым, упорядоченным и , конечным и бесконечным. Бесконечное множество может быть счётным или несчётным. Более того, как в наивной, так и в аксиоматической теориях множеств любой объект обычно считается множеством. Понятие множества позволяет практически всем разделам математики использовать общую идеологию и терминологию. (ru) En mängd är en samling av objekt. De objekt som ingår i en mängd kallas mängdens element. I axiomatisk mängdteori, till exempel Zermelo-Fraenkels mängdteori, finns ett antal axiom som fastställer hur mängder får bildas. De får till exempel inte ha sig själva som element. Men i stort sett är det nästan inga begränsningar på vad en mängd får innehålla. En mängd är ändlig eller oändlig beroende på om den innehåller ett ändligt eller oändligt antal element. Ändliga mängder kan anges genom att man räknar upp elementen inom mängdklamrar; exempelvis {2, 3, 5, 7} är mängden av alla primtal under 10. Mängden av alla primtal är emellertid oändlig (det finns oändligt många primtal), så den går inte ange på detta sätt. Ett mer generellt sätt att ange mängder är genom att skriva {x : A(x)}, vilket betyder mängden av alla x som har egenskapen A (märk att andra tecken än kolon kan användas i litteraturen). Till exempel kan mängden av samtliga primtal skrivas {x : x är ett primtal}. Nästan alla matematiska begrepp som finns kan reduceras till mängder. Två mängder är lika om de innehåller exakt samma element. Mängder är oordnade det vill säga det spelar ingen roll i vilken ordning vi räknar upp elementen. {1, 2, 3} = {3, 1, 2}. Det spelar heller ingen roll om element räknas upp flera gånger. {1, 1, 2, 3} = {1, 2, 3, 3, 3, 3}. Den mängd som inte innehåller några element skrivs {} eller ∅ och kallas den tomma mängden. Den mängd som innehåller alla element som är relevanta (det vill säga alla element som ingår i domänen för det som för tillfället studeras) kallas universum, universalmängd eller "grundmängd" och betecknas ibland med bokstaven U, G eller Ω. Vanliga operationer på mängder, så kallade mängdoperationer, är: * Unära: komplement, potensmängd * Binära: snitt, union, differens, produkt Två mängder A och B sägs innehålla lika många element om och endast om det finns en bijektiv funktion från A till B. Exempelvis finns det ingen sådan från de naturliga talen till de reella och därför kan man säga att det finns fler reella tal än naturliga. Antalet element i en mängd betecknas med absolutbelopp, exempelvis M
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rdfs:comment Un conjunt és una reunió d'objectes ben definits en la intuïció o en el pensament, considerada com una totalitat. Tot i que això sembla una idea senzilla, els conjunts són un dels conceptes més fonamentals en la matemàtica moderna. L'estudi de les estructures dels conjunts possibles, teoria de conjunts, és un camp ric i en continu desenvolupament. Tot i que no va ser inventada fins al segle xix, la teoria de conjunts és avui en dia una part ubiqua de les matemàtiques. La teoria de conjunts pot ser vista com el fonament a partir del qual es poden derivar gairebé totes les matemàtiques. (ca) Množina je soubor objektů, chápaný jako celek. Objekty množiny se nazývají prvky množiny. Charakterizující vlastnost množiny je, že je jednoznačně určena svými prvky (ale nevšímá si jejich pořadí ani žádné další struktury). Množina, neobsahující žádné prvky se nazývá prázdná množina. V matematice existuje abstraktní teorie množin, zkoumající množiny z formálního hlediska. (cs) Matematikan, multzo bat objektu ezberdinen bilduma da. Elementu deritzen objektu hauek edozein eratakoak izan daitezke, besteak beste, zenbakiak, letrak, pertsonak eta koloreak. Elementu horiek multzo baten parte direla esaten da nolabait bertan definiturik baldin badaude. Multzo bat hura osatzen duten elementu guztiek betetzen duten propietate baten bitartez definitu ohi da. Zenbaki arrunten kasuan, esate baterako, zenbaki lehen izatearen propietatea kontuan hartuz gero, multzoa honela adierazi ahal izango litzateke: edo (eu) Sa mhatamaitic, rang dea-shainmhínithe eilimintí, is é sin, rang ar féidir a rá go cinnte an ball den rang aon eilimint ar leith nó nach ea. Mar shampla, is tacar iad na ré-uimhreacha, mar is ré-uimhir nó corruimhir gach uimhir. Mar mhalairt, ní féidir tacar a thabhairt ar na huimhreacha móra uile, mar ní cinnte cad is brí le ‘mór’. Is tacar é an tacar folamh nach bhfuil aon eilimint ann. Tá gach uile eilimint sa tacar uilíoch. Is é comhlánú an tacair A an tacar A´, ina bhfuil na heilimintí uile nach bhfuil in A. Tugtar trasnú dhá thacar A is B ar thacar na n-eilimintí uile atá ina mbaill de A is B. Tugtar aontú dhá thacar A is B ar thacar na n-eilimintí uile atá ina mbaill de A nó de B nó den dá cheann. (ga) In matematica, una collezione di elementi rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque elemento fa parte o no del raggruppamento. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi.Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere, persone, figure, ecc., anche non necessariamente omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli oggetti della collezione vanno invece ben definiti e determinati. (it) 集合（しゅうごう、英: set, 仏: ensemble, 独: Menge）とは数学における概念の1つで、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、英: element; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、英: system) や族 (ぞく、英: family) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、（「加法的な性質を持つ」集合族）など。 (ja) Zbiór (dawniej także mnogość) – pojęcie pierwotne aksjomatycznej teorii mnogości (zwanej też teorią zbiorów) leżące u podstaw całej matematyki; idealizacja intuicyjnie rozumianego zbioru (zestawu, kolekcji) utworzonego z elementów (komponentów, składowych), która jest efektem abstrahowania od wewnętrznej struktury modelowanego obiektu i wzajemnych zależności między jego elementami (np. hierarchii, czy kolejności). (pl) Conjunto é um conceito-chave primitivo do ramo matemático da Teoria dos Conjuntos. A relação básica entre um objeto e o conjunto é a relação de pertinência: quando um objeto x é um dos elementos que compõem o conjunto A, dizemos que x pertence a A. Nos conjuntos, a ordem e a quantidade de vezes que os elementos estão listados na coleção não é relevante. Em contraste, uma coleção de elementos na qual a multiplicidade, mas não a ordem, é relevante, é chamada multiconjunto. Dizemos que dois conjuntos são iguais se, e somente se, cada elemento de um é também elemento do outro. (pt) Множина́ — одне з найважливіших понять сучасної математики. Поняття множини введено аксіоматично як сукупність певних об'єктів довільної природи, і тому множину не можна означити застосовуючи інші означені поняття. Навпаки, за допомогою поняття «множина» означають багато інших понять, і не лише в математиці. Об'єкти, які складають множину, називають елементами цієї множини. Наприклад, можна говорити про множину всіх книг у певній бібліотеці, множину літер українського алфавіту, про множину всіх коренів певного рівняння, множину геометричних фігур, або, навіть, множину, яка складається з інших множин. (uk) 集合（英語：set）簡稱集，是一个基本的数学模型，指具有某种特定性质的事物的总体。集合裡的事物称作元素，它们可以是任何类型的数学对象：数字、符号、变量、空间中的点、线、面，甚至是其他集合。若是集合的元素，記作。 集合在现代数学无处不在，其基本理论是于十九世纪末创立的。自20世纪上半叶以来，集合理论，更确切地说是策梅洛-弗兰克尔集合论，一直是为所有数学分支奠定严格实际基础的标准。 (zh) المجموعة أو الفئة (بالإنجليزية: Set)‏ هي مفهوم أساسي في جميع فروع الرياضيات، ويعتبر مفهوم المجموعة من المفاهيم الأولية التي لا تُعرَّف. لكنه يمكن تصور المجموعة على أنها طائفة من الأشياء الموضوعة سوياً، وتسمى هذه الأشياء عناصر المجموعة، وعادة ما تكتب المجموعة باستخدام معقوفتين { } توضع بينهما عناصر المجموعة، فمثلا : هي مجموعة عناصرها : a، b، c. كما تستخدم في وصف المجموعات أيضاَ الصورةحيث هي خاصية أو عبارة رياضية تميز عناصر المجموعة. يمكن للمجموعة أن تكون خالية ولكن لا يمكن لها أن تحتوي على نفس العنصر أكثر من مرة. (ar) Ένα σύνολο είναι κάθε συλλογή σαφώς διακριτών και καλώς καθορισμένων αντικειμένων που προέρχονται από τον χώρο της εμπειρίας (αντικείμενα συγκεκριμένα) ή των διανοημάτων (αντικείμενα αφηρημένα), τα οποία θεωρούνται ως μια ολότητα. Η έννοια του συνόλου είναι «αρχική έννοια» για τα Μαθηματικά, δηλαδή δεν μπορεί να ορισθεί με χρήση απλούστερων εννοιών, γι' αυτό γίνονται αποδεκτά αξιωματικά, χωρίς απόδειξη. (el) Pri la aliaj signifoj de aro rigardu en Aro. En la matematiko, la nocio de aro estas unu el la plej fundamentaj nocioj. Aro estas kolekto da konsiderataj kiel unu tutaĵo. Aro povas esti malplena, sed ne povas enhavi plurajn ekzemplerojn de unu elemento. La nocio de aro estas tiel fundamenta, ke kutime oni ne difinas ĝin matematike, sed uzas ĝin kiel bazon por difini aliajn matematikajn konceptojn. Ekzemple, se A={1;2;3;4;5} kaj B={1;3;5;7}, tiam A ∪ B = {1;2;3;4;5;7} kaj A ∩ B ={1;3;5} La konformeco inter A kaj B estas unu-al-unua konformeco, se plenumiĝas sekvaj du kondiĉoj: (eo) Als Menge wird in der Mathematik ein abstraktes Objekt bezeichnet, das aus der Zusammenfassung einer Anzahl einzelner Objekte hervorgeht. Diese werden dann als die Elemente der Menge bezeichnet. Die Anzahl kann von Null über ein oder mehrere Elemente bis hin zu unendlich vielen reichen. Die Menge ist eines der wichtigsten und grundlegenden Konzepte der Mathematik; mit ihrer Betrachtung beschäftigt sich die Mengenlehre. (de) En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} (es) En mathématiques, un ensemble désigne intuitivement une collection d’objets (les éléments de l'ensemble), « une multitude qui peut être comprise comme un tout » (au sens d'omnis). Dans une approche axiomatique, la théorie des ensembles est une théorie de l'appartenance (un élément d'un ensemble est dit « appartenir » à cet ensemble). Le mot ensemble désigne alors un objet du domaine de cette théorie, dont les axiomes régissent les propriétés. La théorie des ensembles est utilisée pour fonder les mathématiques, et dans cette approche tout objet mathématique est in fine un ensemble. (fr) Dalam matematika, himpunan (disebut juga kumpulan, kelompok, gugus, atau set) dapat dibayangkan sebagai kumpulan benda berbeda yang terdefinisi dengan jelas dan dipandang sebagai satu kesatuan utuh. Dengan terdefinisi yang jelas itu maka dapat ditentukan dengan tegas apakah suatu objek termasuk anggota suatu himpunan atau bukan. Himpunan merupakan satu di antara konsep dasar matematika, karena hampir semua aspek matematika dapat dibangun dengan konsep himpunan ini. Kajian lebih lanjut mengenai himpunan dipelajari dalam teori himpunan. (in) A set is the mathematical model for a collection of different things; a set contains elements or members, which can be mathematical objects of any kind: numbers, symbols, points in space, lines, other geometrical shapes, variables, or even other sets. The set with no element is the empty set; a set with a single element is a singleton. A set may have a finite number of elements or be an infinite set. Two sets are equal if they have precisely the same elements. (en) ( 다른 뜻에 대해서는 집합 (동음이의) 문서를 참고하십시오.) 수학에서 집합(集合, 영어: set)은 특정한 조건에 맞는 별개의 원소들의 모임(a collection of distinct elements)이며, 명확한 기준(표준)에 의하여 주어진 서로 다른 대상들이 모여 이루는 새로운 대상이다. 어떤 대상이 집합에 속하는지 여부는 명확해야 하며, 집합 위에는 순서나 연산 따위의 구조가 주어지지 않는다. 집합은 수학에서 가장 기본적인 개념이다. 집합론은 19세기 말에 개발되어 다른 수학 이론들에 비해 젊은 편이나, 거의 모든 수학 이론을 전개하는 토대로 삼을 수 있다. 소박한 집합론은 위와 같은 엄밀하지 않은 전제에 기초하는 집합론이며, 러셀의 역설을 비롯한 여러 가지 역설을 함의한다. 공리적 집합론은 이를 해결하기 위해 등장한 집합론이다. 공리적 집합론에서는 집합을 무정의 용어로 두거나, 단순히 집합을 구별하는 단항 조건 기호를 사용한다. 이 경우, 집합 자체의 정의를 시도하기 보다는 전체 집합론이 가지고 있는 공리들이 집합의 성질을 설명한다. 예를 들어, 는 원소가 같은 두 집합은 같아야 한다는 뜻을 지닌다. (ko) In de wiskunde is een verzameling een abstract object dat het totaal voorstelt van verschillende objecten, die elementen van de verzameling genoemd worden. Het begrip verzameling is een wiskundig basisbegrip. Dat wil zeggen dat het niet verder gereduceerd (herleid) kan worden tot een samenstel van andere, nog fundamentelere theoretische wiskundige begrippen (axioma's), maar dat het zelf axiomatisch gedefinieerd moet worden. Verzamelingen vormen het studieobject van de verzamelingenleer. (nl) Мно́жество — одно из ключевых понятий математики; представляющее собой набор, совокупность каких-либо (вообще говоря любых) объектов — элементов этого множества. Два множества равны тогда и только тогда, когда содержат в точности одинаковые элементы. (ru) En mängd är en samling av objekt. De objekt som ingår i en mängd kallas mängdens element. I axiomatisk mängdteori, till exempel Zermelo-Fraenkels mängdteori, finns ett antal axiom som fastställer hur mängder får bildas. De får till exempel inte ha sig själva som element. Men i stort sett är det nästan inga begränsningar på vad en mängd får innehålla. Vanliga operationer på mängder, så kallade mängdoperationer, är: * Unära: komplement, potensmängd * Binära: snitt, union, differens, produkt (sv)
rdfs:label مجموعة (رياضيات) (ar) Conjunt (ca) Množina (cs) Menge (Mathematik) (de) Σύνολο (el) Aro (matematiko) (eo) Conjunto (es) Multzo (eu) Tacar (ga) Himpunan (matematika) (in) Insieme (it) Ensemble (fr) 集合 (ja) 집합 (ko) Verzameling (wiskunde) (nl) Set (mathematics) (en) Conjunto (pt) Zbiór (pl) Множество (ru) Mängd (sv) Множина (uk) 集合 (数学) (zh)
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