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In mathematics, the Fabius function is an example of an infinitely differentiable function that is nowhere analytic, found by Jaap Fabius. It was also written down as the Fourier transform of by Børge Jessen and Aurel Wintner. The Fabius function is defined on the unit interval, and is given by the cumulative distribution function of where the ξn are independent uniformly distributed random variables on the unit interval. This function satisfies the initial condition , the symmetry condition for and the functional differential equation for It follows that is monotone increasing for with and There is a unique extension of f to the real numbers that satisfies the same differential equation for all x. This extension can be defined by f (x) = 0 for x ≤ 0, f (x + 1) = 1 − f (x) for 0 ≤ x ≤ 1, and f (x + 2r) = −f (x) for 0 ≤ x ≤ 2r with r a positive integer. The sequence of intervals within which this function is positive or negative follows the same pattern as the Thue–Morse sequence. (en) 파비우스 함수는 야프 파비우스(Jaap Fabius)에 의해 발견된 모든 점에서 비 해석적인 무한히 미분가능한 함수의 예시이다. 이는 또한 뵈르 제센(Børge Jessen)과 오렐 위트너(Aurel Wintner)에 의해 다음의 푸리에 변환으로 쓰여졌다. 파비우스 함수는 단위구간에서 정의되어 있고, 다음의 확률분포로 주어진다 여기서 ξn는 에서 독립 연속균등분포 확률변수이다. 이 함수는 에서 함수식 를 만족한다; 여기서 은 의 도함수를 의미한다. 이 함수식을 만족하면서 를 음이 아닌 실수로 확장시키는 특별한 방법이 있다. 이 확장은 에서 로 정의되고 이 양의 정수일 때 에서 이다. 이 함수가 양수이거나 음수인 구간의 순열은 투에-모스 수열과 같은 패턴을 따른다. (ko) |
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파비우스 함수는 야프 파비우스(Jaap Fabius)에 의해 발견된 모든 점에서 비 해석적인 무한히 미분가능한 함수의 예시이다. 이는 또한 뵈르 제센(Børge Jessen)과 오렐 위트너(Aurel Wintner)에 의해 다음의 푸리에 변환으로 쓰여졌다. 파비우스 함수는 단위구간에서 정의되어 있고, 다음의 확률분포로 주어진다 여기서 ξn는 에서 독립 연속균등분포 확률변수이다. 이 함수는 에서 함수식 를 만족한다; 여기서 은 의 도함수를 의미한다. 이 함수식을 만족하면서 를 음이 아닌 실수로 확장시키는 특별한 방법이 있다. 이 확장은 에서 로 정의되고 이 양의 정수일 때 에서 이다. 이 함수가 양수이거나 음수인 구간의 순열은 투에-모스 수열과 같은 패턴을 따른다. (ko) In mathematics, the Fabius function is an example of an infinitely differentiable function that is nowhere analytic, found by Jaap Fabius. It was also written down as the Fourier transform of by Børge Jessen and Aurel Wintner. The Fabius function is defined on the unit interval, and is given by the cumulative distribution function of where the ξn are independent uniformly distributed random variables on the unit interval. (en) |
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Fabius function (en) 파비우스 함수 (ko) |
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