Jordan–Schur theorem (original) (raw)
En mathématiques, le théorème de Jordan-Schur, ou « théorème de Jordan pour les groupes linéaires finis », est un théorème de structure sur les sous-groupes des groupes linéaires complexes.
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| dbo:abstract | Der Satz von Jordan-Schur, auch unter dem Namen Satz von Jordan über endliche lineare Gruppen bekannt, ist ein mathematischer Satz, der in seiner ursprünglichen Form von Camille Jordan stammt. In dieser Form besagt er, dass es eine Funktion gibt, so dass es zu jeder endlichen Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe eine Untergruppe gibt, so dass Folgendes gilt: * ist abelsch, * ist ein Normalteiler von , * der Index von in erfüllt . Da nicht von abhängt ist das für festes n ein Endlichkeitssatz für die Quotientengruppen G/H. Issai Schur hatte ein allgemeineres Ergebnis erzielt, indem er nicht mehr die Endlichkeit der Gruppe voraussetzte, sondern nur noch, dass es sich um eine Torsionsgruppe handelt. Schur zeigte, dass man nehmen kann. Speiser erhielt für und unter der Voraussetzung der Endlichkeit von die bessere Abschätzung , wobei die Primzahlfunktion ist.In einer weiteren Verbesserung konnte Blichfeldt in obiger Formel 12 durch 6 ersetzen. Schließlich zeigte unter der Voraussetzung der Endlichkeit von mit Hilfe des Klassifikationssatzes endlicher einfacher Gruppen, dass man für die Abschätzungsfunktion nehmen kann, und gab eine nahezu vollständige Beschreibung des Verhaltens für kleine . (de) In mathematics, the Jordan–Schur theorem also known as Jordan's theorem on finite linear groups is a theorem in its original form due to Camille Jordan. In that form, it states that there is a function ƒ(n) such that given a finite subgroup G of the group GL(n, C) of invertible n-by-n complex matrices, there is a subgroup H of G with the following properties: * H is abelian. * H is a normal subgroup of G. * The index of H in G satisfies (G : H) ≤ ƒ(n). Schur proved a more general result that applies when G is not assumed to be finite, but just periodic. Schur showed that ƒ(n) may be taken to be ((8n)1/2 + 1)2n2 − ((8n)1/2 − 1)2n2. A tighter bound (for n ≥ 3) is due to Speiser, who showed that as long as G is finite, one can take ƒ(n) = n! 12n(π(n+1)+1) where π(n) is the prime-counting function. This was subsequently improved by Hans Frederick Blichfeldt who replaced the 12 with a 6. Unpublished work on the finite case was also done by Boris Weisfeiler. Subsequently, , using the classification of finite simple groups, showed that in the finite case, one can take ƒ(n) = (n + 1)! when n is at least 71, and gave near complete descriptions of the behavior for smaller n. (en) En mathématiques, le théorème de Jordan-Schur, ou « théorème de Jordan pour les groupes linéaires finis », est un théorème de structure sur les sous-groupes des groupes linéaires complexes. (fr) In de groepentheorie, een deelgebied van de wiskunde, is de stelling van Jordan–Schur een stelling die in zijn originele vorm is geponeerd door Camille Jordan. In die vorm zegt de stelling dat er een functie bestaat, zodanig dat gegeven een eindige groep , die een deelgroep van de groep van is, er dan een deelgroep van bestaat, zodanig dat abels is, normaal is met betrekking tot en dat een index van ten hoogste heeft. Schur bewees een meer algemeen resultaat, dat van toepassing is, wanneer men aanneemt dat niet eindig, maar alleen periodiek is. Schur bewees dat voor de functie gekozen kan worden. Een strakkere begrenzing (voor ) is te danken aan , die aantoonde, dat zolang eindig is, men kan nemen, waarin de priemgetal-telfunctie is. (nl) Теорема Жордана теорема о конечных линейных группах гарантирует наличие большой коммутативной подгруппы в любой конечной линейной группе. В первоначальном виде доказана Камиллем Жорданом, позже несколько раз улучшена. (ru) |
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