Kan extension (original) (raw)
In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die die universelle Approximation an die Lösung der Gleichung sind, als Kan-Erweiterungen.Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte.
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| dbo:abstract | In der mathematischen Kategorientheorie bezeichnet man Funktoren, die die universelle Approximation an die Lösung der Gleichung sind, als Kan-Erweiterungen.Die Konstruktion ist nach Daniel M. Kan benannt, der solche Erweiterungen 1960 als Limites und Kolimites konstruierte. (de) Kan extensions are universal constructs in category theory, a branch of mathematics. They are closely related to adjoints, but are also related to limits and ends. They are named after Daniel M. Kan, who constructed certain (Kan) extensions using limits in 1960. An early use of (what is now known as) a Kan extension from 1956 was in homological algebra to compute derived functors. In Categories for the Working Mathematician Saunders Mac Lane titled a section "All Concepts Are Kan Extensions", and went on to write that The notion of Kan extensions subsumes all the other fundamental concepts of category theory. Kan extensions generalize the notion of extending a function defined on a subset to a function defined on the whole set. The definition, not surprisingly, is at a high level of abstraction. When specialised to posets, it becomes a relatively familiar type of question on constrained optimization. (en) Las extensiones de Kan son construcciones universales en teoría de categorías, una rama de las matemáticas. Están estrechamente relacionadas con las adjunciones, pero también con los límites y los . Reciben su nombre de Daniel M. Kan, que construyó algunas de estas extensiones usando límites en 1960. (es) Une extension de Kan est une construction catégorique universelle qui apparaît naturellement dans de nombreuses situations. Elle tient son nom du mathématicien Daniel Kan, qui a défini de telles extensions à partir de limites. Les autres constructions universelles (limites, adjonctions et foncteurs représentables) peuvent s'écrire en termes d'extensions de Kan, et réciproquement. L'importance de ces extensions est la plus manifeste en théorie des catégories enrichies. L'idée est qu'étant donnés un foncteur , et un foncteur , une extension de Kan de F le long de p est le « meilleur » foncteur qui fait commuter le diagramme c'est-à-dire qui étend le domaine de F selon p. (fr) 圏論においてカン拡張とは普遍性を持つ構成の一種である。 カン拡張は随伴関手と近い関係を持つばかりでなく、圏における極限概念やとも関係している。カン拡張の名は1960年に極限を用いてこの拡張を構成した ダニエル・カンの名に由来している。黎明期のカン拡張はホモロジー代数で導来関手を求める際に使われていた。圏論の基礎（ ソーンダース・マックレーン 著）においてMac Laneは「すべての概念はカン拡張である」と述べ、さらには「カン拡張には圏論における基本的な概念がすべて含まれている」とまで述べている。 ある部分集合上で定義された関数を全体集合にまで拡張する操作を一般化したものがカン拡張である。カン拡張の定義は、当然のように高度に抽象化されている。特別な場合として、半順序集合の場合には、カン拡張は'constrained optimization'の問題となり比較的馴染み深いものになる。 (ja) 범주론에서 칸 확대(Kan擴大, 영어: Kan extension)는 어떤 함자의 정의역을 다른 정의역으로 바꾸는 "최적의" 방법이다. 왼쪽 칸 확대와 오른쪽 칸 확대 두 가지가 있다. (ko) Na teoria das categorias, a extensão de Kan trata do problema de aproximar um functor por outro functor definido em outra categoria. O conceito recebe o nome de , que começou a estudar casos particulares em 1958. Maiores aplicações da teoria de extensões de Kan surgiram na álgebra homológica, com o estudo de . (pt) |
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