Kolmogorov backward equations (diffusion) (original) (raw)
The Kolmogorov backward equation (KBE) (diffusion) and its adjoint sometimes known as the Kolmogorov forward equation (diffusion) are partial differential equations (PDE) that arise in the theory of continuous-time continuous-state Markov processes. Both were published by Andrey Kolmogorov in 1931. Later it was realized that the forward equation was already known to physicists under the name Fokker–Planck equation; the KBE on the other hand was new.
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| dbo:abstract | The Kolmogorov backward equation (KBE) (diffusion) and its adjoint sometimes known as the Kolmogorov forward equation (diffusion) are partial differential equations (PDE) that arise in the theory of continuous-time continuous-state Markov processes. Both were published by Andrey Kolmogorov in 1931. Later it was realized that the forward equation was already known to physicists under the name Fokker–Planck equation; the KBE on the other hand was new. Informally, the Kolmogorov forward equation addresses the following problem. We have information about the state x of the system at time t (namely a probability distribution ); we want to know the probability distribution of the state at a later time . The adjective 'forward' refers to the fact that serves as the initial condition and the PDE is integrated forward in time (in the common case where the initial state is known exactly, is a Dirac delta function centered on the known initial state). The Kolmogorov backward equation on the other hand is useful when we are interested at time t in whether at a future time s the system will be in a given subset of states B, sometimes called the target set. The target is described by a given function which is equal to 1 if state x is in the target set at time s, and zero otherwise. In other words, , the indicator function for the set B. We want to know for every state x at time what is the probability of ending up in the target set at time s (sometimes called the hit probability). In this case serves as the final condition of the PDE, which is integrated backward in time, from s to t. (en) In matematica, lo studio dell'equazione retrospettiva di Kolmogorov consente di dare una rappresentazione della soluzione di una classe di equazioni differenziali alle derivate parziali in termini di valori di aspettazione di alcuni processi stocastici. Tale risultato fu pubblicato dal matematico russo Andrej Nikolaevič Kolmogorov nel 1931. Sia un processo di diffusione con coefficienti (velocità di deriva e diffusione) e . Sia una funzione misurabile, ossia tale che: e limitata: Si definisca, attraverso , la funzione data da: ossia l'aspettazione del valore della funzione , quando il processo è al tempo , condizionata dal fatto che al tempo (precedente ad ) il processo era in . Si può dimostrare che: * la funzione è continua e limitata, come pure le sue derivate parziali prime e seconde rispetto alle variabili , con . * la funzione è differenziabile rispetto al tempo con derivata * la funzione soddisfa un'equazione differenziale alle derivate parziali ordinaria (cioè non stocastica) del secondo ordine (perché coinvolge le derivate parziali seconde di ), detta equazione retrospettiva di Kolmogorov: (it) As equações regressivas de Kolmogorov, ERK, (na literatura, citadas como KBE, de Kolmogorov backward equation) da difusão e seus adjuntos, algumas vezes conhecidas como a equação regressiva de Kolmogorov da difusão são equações diferenciais parciais (EDP) que surgem na teoria do tempo contínuo e estado contínuo dos . Ambos foram publicados por Andrey Kolmogorov em 1931. Mais tarde percebeu-se que a equação progressiva já era conhecida em Física sob o nome de equação de Fokker–Planck; a ERK no outro sentido era nova. Informalmente, a equação progressivas de Kolmogorov apontam o seguinte problema. Temos informações sobre o estado x do sistema no tempo t, ou seja uma distribuição de probabilidade ; queremos saber a distribuição de probabilidade do estado em um momento posterior . O adjetivo 'progressivo' refere-se ao fato que serve como a condição inicial e as EDP são integradas progressivamente no tempo. No caso em que o estado inicial seja conhecido exatamente então é um função delta de Dirac centrada sobre esse estado. (pt) |
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