Lochs's theorem (original) (raw)
In der Zahlentheorie ist der Satz von Lochs ein Satz über die Konvergenzgeschwindigkeit von Kettenbruchdarstellungen reeller Zahlen. Der Satz wurde 1964 von Gustav Lochs bewiesen. Danach ist die Kettenbruchschreibweise nur etwas effizienter als die Dezimalzahlendarstellung.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | In der Zahlentheorie ist der Satz von Lochs ein Satz über die Konvergenzgeschwindigkeit von Kettenbruchdarstellungen reeller Zahlen. Der Satz wurde 1964 von Gustav Lochs bewiesen. Danach ist die Kettenbruchschreibweise nur etwas effizienter als die Dezimalzahlendarstellung. (de) In number theory, Lochs's theorem concerns the rate of convergence of the continued fraction expansion of a typical real number. A proof of the theorem was published in 1964 by . The theorem states that for almost all real numbers in the interval (0,1), the number of terms m of the number's continued fraction expansion that are required to determine the first n places of the number's decimal expansion behaves asymptotically as follows: (sequence in the OEIS). As this limit is only slightly smaller than 1, this can be interpreted as saying that each additional term in the continued fraction representation of a "typical" real number increases the accuracy of the representation by approximately one decimal place. The decimal system is the last positional system for which each digit carries less information than one continued fraction quotient; going to base-11 (changing to in the equation) makes the above value exceed 1. The reciprocal of this limit, (sequence in the OEIS), is twice the base-10 logarithm of Lévy's constant. A prominent example of a number not exhibiting this behavior is the golden ratio—sometimes known as the "most irrational" number—whose continued fraction terms are all ones, the smallest possible in canonical form. On average it requires approximately 2.39 continued fraction terms per decimal digit. (en) En teoría de números, el teorema de Lochs es un teorema que se refiere a la tasa de convergencia de la expansión en fracción continua de un número real típico. El teorema fue probado por en 1964. El teorema establece que para casi todos los números reales en el intervalo (0,1), la cantidad m de términos de la expansión en fracción continua de un número que se necesitan para determinar los primeros n lugares de la expansión decimal de dicho número se comporta asintóticamente de la siguiente manera: Conforme este límite es ligeramente menor a 1, se puede interpretar como si dijéramos que cada término adicional en la representación en fracción continua de un número real «típico» incrementa la precisión de la representación por aproximadamente un lugar decimal. El sistema decimal es el último sistema posicional para el cual cada dígito porta menos información que un cociente de fracción continua. Utilizando una base 11 (cambiando por en la ecuación) hace que el valor de arriba sobrepase el valor de 1. el recíproco de este límite, es el doble del logaritmo en base 10 de la constante de Lévy. (es) En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Lochs, démontré en 1964 par (de), un élève de Kurt Reidemeister, est un résultat concernant la vitesse de convergence du développement en fraction continue d'un nombre réel typique. (fr) 로크스(Lochs) 상수 수 이론에서, 로크스 상수는 로크스(Lochs) 정리로부터 전형적인 실수의 연분수 확장의 수렴 속도에 관한 상수이다. 정리의 증거는 1964년 (Gustav Lochs)에 의해 출판되었다. 정리에 따르면, 구간 (0,1)의 거의 모든 실수에 대해 소수의 10 진수 확장의 첫 번째 n 개 자리를 결정하는 데 필요한 숫자의 연분수 확장 항의 수는 점근적으로 다음과 같이 동작한다. 규칙적인 연분수에서 수렴하는 구현의 대상 객체 소수 자리 * 레비(Levy)상수와의 상관관계 는 레비(Levy)상수 * 포터(porter)상수와의 상관관계 글레이셔-킨켈린 상수 (Glaisher-Kinkelin constant) * 역수 (ko) В теорії чисел, теорема Лохса — теорема про швидкість збіжності розкладу ланцюгового дробу типового дійсного числа. Доведення теореми було опубліковано Ґуставом Лохсом в 1964 році. Теорема стверджує, що для практично всіх дійсних чисел в інтервалі (0,1) кількість членів m у розкладі ланцюгового дробу цього числа, необхідних для визначення перших n місць десяткового зображення числа асимптотично поводисться як: послідовність з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS. Оскільки ця межа лише трохи менша одиниці, що можна інтерпретувати як те, що кожен додатковий термін у розкладі ланцюгового дробу «типового» дійсного числа збільшує точність наближення приблизно на одну десяткову позицію. Десяткова система є останньою позиційною системою запису, для якої кожна цифра містить менше інформації, ніж одна частка (коефіцієнт) ланцюгового дробу; перехід до 11-вої бази (зміна на у рівнянні) робить вищевказане значення більшим одиниці. Відносно цього ліміту, послідовність з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS, є вдвічі більшою за десятковий логарифм сталої Леві. Яскравим прикладом числа, що не проявляє такої поведінки, є золотий перетин - іноді відоме як «найбільш ірраціональне» число — коефіцієнти ланцюгового дробу якого — всі одиниці, найменші можливі в канонічній формі. У середньому йому потрібно приблизно 2.39 коефіцієнтів ланцюгового дробу на кожну десяткову цифру (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Lochs'_theorem_golden_ratio.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 18266692 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 3103 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1117471408 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Lévy's_constant dbr:Decimal dbc:Theorems_in_number_theory dbr:Continued_fraction dbr:Golden_ratio dbr:Almost_all dbr:Number_theory dbr:Asymptotically dbc:Continued_fractions dbr:Undecimal dbr:Positional_system dbr:File:Lochs'_theorem_golden_ratio.svg dbr:Gustav_Lochs |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Clear dbt:OEIS dbt:Short_description |
| dct:subject | dbc:Theorems_in_number_theory dbc:Continued_fractions |
| rdfs:comment | In der Zahlentheorie ist der Satz von Lochs ein Satz über die Konvergenzgeschwindigkeit von Kettenbruchdarstellungen reeller Zahlen. Der Satz wurde 1964 von Gustav Lochs bewiesen. Danach ist die Kettenbruchschreibweise nur etwas effizienter als die Dezimalzahlendarstellung. (de) En mathématiques, et plus précisément en analyse, le théorème de Lochs, démontré en 1964 par (de), un élève de Kurt Reidemeister, est un résultat concernant la vitesse de convergence du développement en fraction continue d'un nombre réel typique. (fr) 로크스(Lochs) 상수 수 이론에서, 로크스 상수는 로크스(Lochs) 정리로부터 전형적인 실수의 연분수 확장의 수렴 속도에 관한 상수이다. 정리의 증거는 1964년 (Gustav Lochs)에 의해 출판되었다. 정리에 따르면, 구간 (0,1)의 거의 모든 실수에 대해 소수의 10 진수 확장의 첫 번째 n 개 자리를 결정하는 데 필요한 숫자의 연분수 확장 항의 수는 점근적으로 다음과 같이 동작한다. 규칙적인 연분수에서 수렴하는 구현의 대상 객체 소수 자리 * 레비(Levy)상수와의 상관관계 는 레비(Levy)상수 * 포터(porter)상수와의 상관관계 글레이셔-킨켈린 상수 (Glaisher-Kinkelin constant) * 역수 (ko) En teoría de números, el teorema de Lochs es un teorema que se refiere a la tasa de convergencia de la expansión en fracción continua de un número real típico. El teorema fue probado por en 1964. El teorema establece que para casi todos los números reales en el intervalo (0,1), la cantidad m de términos de la expansión en fracción continua de un número que se necesitan para determinar los primeros n lugares de la expansión decimal de dicho número se comporta asintóticamente de la siguiente manera: el recíproco de este límite, es el doble del logaritmo en base 10 de la constante de Lévy. (es) In number theory, Lochs's theorem concerns the rate of convergence of the continued fraction expansion of a typical real number. A proof of the theorem was published in 1964 by . The theorem states that for almost all real numbers in the interval (0,1), the number of terms m of the number's continued fraction expansion that are required to determine the first n places of the number's decimal expansion behaves asymptotically as follows: (sequence in the OEIS). The reciprocal of this limit, (sequence in the OEIS), is twice the base-10 logarithm of Lévy's constant. (en) В теорії чисел, теорема Лохса — теорема про швидкість збіжності розкладу ланцюгового дробу типового дійсного числа. Доведення теореми було опубліковано Ґуставом Лохсом в 1964 році. Теорема стверджує, що для практично всіх дійсних чисел в інтервалі (0,1) кількість членів m у розкладі ланцюгового дробу цього числа, необхідних для визначення перших n місць десяткового зображення числа асимптотично поводисться як: послідовність з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS. Відносно цього ліміту, послідовність з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS, (uk) |
| rdfs:label | Satz von Lochs (de) Teorema de Lochs (es) Théorème de Lochs (fr) Lochs's theorem (en) 로크스 상수 (ko) Теорема Лохса (uk) |
| owl:sameAs | wikidata:Lochs's theorem dbpedia-de:Lochs's theorem dbpedia-es:Lochs's theorem dbpedia-fr:Lochs's theorem dbpedia-ko:Lochs's theorem dbpedia-uk:Lochs's theorem https://global.dbpedia.org/id/ZsJu |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Lochs's_theorem?oldid=1117471408&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Lochs'_theorem_golden_ratio.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Lochs's_theorem |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Lochs'_theorem |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Lochs'_theorem dbr:List_of_theorems |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Lochs's_theorem |
