Lemoine point (original) (raw)
Der Lemoinepunkt eines Dreiecks, auch Lemoinescher Punkt, Grebepunkt oder Symmedianenpunkt genannt, ist ein ausgezeichneter Punkt im Dreieck. Er ist der Schnittpunkt der an den Winkelhalbierenden gespiegelten Seitenhalbierenden, der Symmediane.
| Property | Value |
|---|---|
| dbo:abstract | Der Lemoinepunkt eines Dreiecks, auch Lemoinescher Punkt, Grebepunkt oder Symmedianenpunkt genannt, ist ein ausgezeichneter Punkt im Dreieck. Er ist der Schnittpunkt der an den Winkelhalbierenden gespiegelten Seitenhalbierenden, der Symmediane. (de) El punto simediano, punto de Lemoine o punto de Grebe es la intersección de las tres simedianas (líneas simétricas a las medianas con respecto a sus bisectrices asociadas) de un triángulo. (es) In geometry, the symmedian point, Lemoine point or Grebe point is the intersection of the three symmedians (medians reflected at the associated angle bisectors) of a triangle. Ross Honsberger called its existence "one of the crown jewels of modern geometry". In the Encyclopedia of Triangle Centers the symmedian point appears as the sixth point, X(6). For a non-equilateral triangle, it lies in the open orthocentroidal disk punctured at its own center, and could be any point therein. The symmedian point of a triangle with side lengths a, b and c has homogeneous trilinear coordinates [a : b : c]. An algebraic way to find the symmedian point is to express the triangle by three linear equations in two unknowns given by the hesse normal forms of the corresponding lines. The solution of this overdetermined system found by the least squares method gives the coordinates of the point. It also solves the optimization problem to find the point with a minimal sum of squared distances from the sides.The Gergonne point of a triangle is the same as the symmedian point of the triangle's contact triangle. The symmedian point of a triangle ABC can be constructed in the following way: let the tangent lines of the circumcircle of ABC through B and C meet at A', and analogously define B' and C'; then A'B'C' is the tangential triangle of ABC, and the lines AA', BB' and CC' intersect at the symmedian point of ABC. It can be shown that these three lines meet at a point using Brianchon's theorem. Line AA' is a symmedian, as can be seen by drawing the circle with center A' through B and C. The French mathematician Émile Lemoine proved the existence of the symmedian point in 1873, and published a paper on it 1847. Simon Antoine Jean L'Huilier had also noted the point in 1809. For the extension to an irregular tetrahedron see symmedian. (en) Het punt van Lemoine in een driehoek is het snijpunt van de symmedianen. De symmedianen zijn de spiegelbeelden van de zwaartelijnen in de bissectrices. Het is het driehoekscentrum met Kimberlingnummer X(6). Émile Lemoine (1840-1912) was een Franse wiskundige. Het bedoelde punt wordt ook wel symmediaanpunt van de driehoek genoemd, en in Duitse literatuur punt van Grebe. Het punt was al bekend, voordat Lemoine en Grebe er in de literatuur over schreven. (nl) Dato un triangolo ABC, le sue simmediane, (ossia le simmetriche alla mediana rispetto alla bisettrice) concorrono in un punto K che prende il nome di punto di Lemoine. Osserviamo che in un primo momento il punto di Lemoine assunse il nome di centro delle mediane antiparallele, quindi divenne il punto simedianico, il punto di Grebe ed infine gli fu dato il nome di punto di Lemoine, in onore del matematico francese Émile Lemoine (1840-1912) che per primo si era dedicato al suo studio. Il punto di Lemoine si può anche ottenere come punto in cui si intersecano i tre segmenti che rispettivamente passano per il punto medio di un lato e il punto di mezzo dell'altezza su tale lato. Quindi il punto di Lemoine di un triangolo rettangolo è il punto medio dell'altezza sull'ipotenusa. Il punto di Gergonne di un triangolo T è il punto di Lemoine del di T. Il punto di Lemoine corrisponde al punto di Brianchon dell'inellisse di Brocard. (it) То́чка Лемуа́на (точка пересечения симедиан, точка Гребе, обозначается или ) — одна из замечательных точек треугольника. (ru) Точка Лемуа́на трикутника — точка перетину його симедіан (чевіан, симетричних до медіан відносно відповідних бісектрис). Точку названо на честь французького математика Еміля Лемуана (1840-1912), який вперше присвятив їй ряд досліджень. Точку Лемуана також можна отримати як точку перетину трьох відрізків, які з'єднують середину кожної сторони з серединою відповідної їй висоти. Також точка Лемуана є точкою перетину прямих, що з'єднують кожну вершину трикутника з точками перетину дотичних до описаного кола, проведених з двох інших вершин. (uk) |
| dbo:thumbnail | wiki-commons:Special:FilePath/Lemoine_punkt.svg?width=300 |
| dbo:wikiPageID | 320998 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageLength | 4019 (xsd:nonNegativeInteger) |
| dbo:wikiPageRevisionID | 1096427400 (xsd:integer) |
| dbo:wikiPageWikiLink | dbr:Ross_Honsberger dbr:Encyclopedia_of_Triangle_Centers dbr:Angle_bisectors dbc:Triangle_centers dbr:Geometry dbr:Gergonne_point dbr:Émile_Lemoine dbr:Overdetermined_system dbr:Tangent dbr:Symmedian dbr:Brianchon's_theorem dbr:Hesse_normal_form dbr:Trilinear_coordinates dbr:Median_(geometry) dbr:Simon_Antoine_Jean_L'Huilier dbr:Tangential_triangle dbr:Orthocentroidal_disk dbr:Contact_triangle dbr:Least_squares_method dbr:Ernst_Wilhelm_Grebe dbr:File:Lemoine_punkt.svg |
| dbp:id | SymmedianPoint (en) |
| dbp:title | Symmedian Point (en) |
| dbp:wikiPageUsesTemplate | dbt:Cn dbt:Distinguish dbt:Efn dbt:Math dbt:Mathworld dbt:Mvar dbt:Notelist dbt:Reflist dbt:Short_description |
| dct:subject | dbc:Triangle_centers |
| rdf:type | owl:Thing |
| rdfs:comment | Der Lemoinepunkt eines Dreiecks, auch Lemoinescher Punkt, Grebepunkt oder Symmedianenpunkt genannt, ist ein ausgezeichneter Punkt im Dreieck. Er ist der Schnittpunkt der an den Winkelhalbierenden gespiegelten Seitenhalbierenden, der Symmediane. (de) El punto simediano, punto de Lemoine o punto de Grebe es la intersección de las tres simedianas (líneas simétricas a las medianas con respecto a sus bisectrices asociadas) de un triángulo. (es) Het punt van Lemoine in een driehoek is het snijpunt van de symmedianen. De symmedianen zijn de spiegelbeelden van de zwaartelijnen in de bissectrices. Het is het driehoekscentrum met Kimberlingnummer X(6). Émile Lemoine (1840-1912) was een Franse wiskundige. Het bedoelde punt wordt ook wel symmediaanpunt van de driehoek genoemd, en in Duitse literatuur punt van Grebe. Het punt was al bekend, voordat Lemoine en Grebe er in de literatuur over schreven. (nl) То́чка Лемуа́на (точка пересечения симедиан, точка Гребе, обозначается или ) — одна из замечательных точек треугольника. (ru) Точка Лемуа́на трикутника — точка перетину його симедіан (чевіан, симетричних до медіан відносно відповідних бісектрис). Точку названо на честь французького математика Еміля Лемуана (1840-1912), який вперше присвятив їй ряд досліджень. Точку Лемуана також можна отримати як точку перетину трьох відрізків, які з'єднують середину кожної сторони з серединою відповідної їй висоти. Також точка Лемуана є точкою перетину прямих, що з'єднують кожну вершину трикутника з точками перетину дотичних до описаного кола, проведених з двох інших вершин. (uk) In geometry, the symmedian point, Lemoine point or Grebe point is the intersection of the three symmedians (medians reflected at the associated angle bisectors) of a triangle. Ross Honsberger called its existence "one of the crown jewels of modern geometry". In the Encyclopedia of Triangle Centers the symmedian point appears as the sixth point, X(6). For a non-equilateral triangle, it lies in the open orthocentroidal disk punctured at its own center, and could be any point therein. The symmedian point of a triangle with side lengths a, b and c has homogeneous trilinear coordinates [a : b : c]. (en) Dato un triangolo ABC, le sue simmediane, (ossia le simmetriche alla mediana rispetto alla bisettrice) concorrono in un punto K che prende il nome di punto di Lemoine. Osserviamo che in un primo momento il punto di Lemoine assunse il nome di centro delle mediane antiparallele, quindi divenne il punto simedianico, il punto di Grebe ed infine gli fu dato il nome di punto di Lemoine, in onore del matematico francese Émile Lemoine (1840-1912) che per primo si era dedicato al suo studio. Quindi il punto di Lemoine di un triangolo rettangolo è il punto medio dell'altezza sull'ipotenusa. (it) |
| rdfs:label | Lemoinepunkt (de) Punto de Lemoine (es) Punto di Lemoine (it) Lemoine point (en) 대칭 중점 (ko) Punt van Lemoine (nl) Точка Лемуана (ru) Точка Лемуана (uk) |
| owl:differentFrom | dbr:Lemoine_Point_Conservation_Area |
| owl:sameAs | yago-res:Lemoine point wikidata:Lemoine point dbpedia-de:Lemoine point dbpedia-es:Lemoine point dbpedia-fi:Lemoine point dbpedia-it:Lemoine point dbpedia-ko:Lemoine point dbpedia-nl:Lemoine point dbpedia-ru:Lemoine point dbpedia-tr:Lemoine point dbpedia-uk:Lemoine point https://global.dbpedia.org/id/56A1p |
| prov:wasDerivedFrom | wikipedia-en:Lemoine_point?oldid=1096427400&ns=0 |
| foaf:depiction | wiki-commons:Special:FilePath/Lemoine_punkt.svg |
| foaf:isPrimaryTopicOf | wikipedia-en:Lemoine_point |
| is dbo:knownFor of | dbr:Émile_Lemoine |
| is dbo:wikiPageDisambiguates of | dbr:Lemoine |
| is dbo:wikiPageRedirects of | dbr:Grebe_Point dbr:Symmedian_point |
| is dbo:wikiPageWikiLink of | dbr:Concyclic_points dbr:Collinearity dbr:Émile_Lemoine dbr:Symmedian dbr:Altitude_(triangle) dbr:Brocard_points dbr:Lemoine dbr:Triangle_center dbr:Modern_triangle_geometry dbr:Feuerbach_hyperbola dbr:Grebe_Point dbr:List_of_École_Polytechnique_alumni dbr:Symmedian_point dbr:Triangle_conic |
| is foaf:primaryTopic of | wikipedia-en:Lemoine_point |
