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Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance du lagrangien d'un système par certaines transformations (appelées symétries) des coordonnées. Démontré en 1915 et publié en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne. Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en matière de symétrie d'espace, de charges électriques, et même de temps. (fr) |
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Michiel Hazewinkel (fr) |
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Histoire des mathématiques (fr) |
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(fr) . (fr) Soit une densité lagrangienne où dénote une dépendance de la densité lagrangienne sur champs scalaires et de leur différentes dérivées partielles en espace et en temps . Chaque champ dépend d'une unique variable d'espace-temps où représente le temps et représente une des trois variables d'espace avec . Selon le principe de moindre action, l'intégrale d'action doit être stationnaire : Ce principe d'action stationnaire mène directement aux équations d'Euler-Lagrange en théorie des champs : où la convention d'Einstein sur les indices répétés est utilisée ici. Soit une transformation infinitésimale d'un des champs où représente la déformation du champ et est un paramètre infinitésimal . Si la densité lagrangienne est invariante à une quadri-divergence près sous cette transformation infinitésimale, c'est-à-dire que : pour une certaine fonction . Alors, en comparant les termes au 1er ordre du développement de Taylor de la densité lagrangienne : Le deuxième terme est nul car il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange pour le champ . On a donc finalement, par comparaison directe : Ainsi, la quantité conservée du système est la suivante : car (fr) Soit , un jeu de coordonnées généralisées qui dépendent continûment d'un paramètre . Si le lagrangien est indépendant de , c'est-à-dire avec , alors : est une intégrale première, c'est-à-dire que est invariant dans le temps : . En effet : (fr) Soit un Lagrangien qui dépend de coordonnées généralisées , avec . Selon le principe de moindre action, l'action est stationnaire sur une trajectoire physique. Ceci mène directement aux équations d'Euler-Lagrange : Aussi, sous une transformation infinitésimale des coordonnées , si le Lagrangien est invariant à une dérivée temporelle totale près , alors les équations du mouvement sont inchangées. Sous cette hypothèse, en calculant le Lagrangien au premier ordre du développement de Taylor, on obtient : Notons que le deuxième terme de la seconde ligne n'est autre que l'un des termes obtenable via la règle de Leibniz : Nous avons donc simplement remplacé par les autres termes de la règle en tenant compte du facteur . Enfin, dans notre dernière ligne, le deuxième terme est nul car il s'agit de l'équation d'Euler-Lagrange pour . Ainsi, par comparaison avec l'hypothèse de départ, on a : On définit la quantité conservée du système : car Dans le cas où la transformation laisse le lagrangien invariant, on a alors et on retrouve alors le résultat de la démonstration précédente, qui est moins générale mais plus explicite. (fr) |
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Démonstration (fr) Invariante Variationsprobleme (fr) Autre démonstration (fr) Les théorèmes de Noether (fr) Noether theorem : 1) Noether's first theorem (fr) E. Noether's Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws (fr) |
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Problèmes variationnels invariants (fr) Encyclopédie de mathématiques : traduction, mise à jour et annotée, de l’Encyclopédie de mathématiques soviétique (fr) |
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Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance du lagrangien d'un système par certaines transformations (appelées symétries) des coordonnées. Démontré en 1915 et publié en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne. (fr) |
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Noether-Theorem (de) Stelling van Noether (nl) Teorema de Noether (ca) Teorema de Noether (es) Teorema di Noether (it) Théorème de Noether (physique) (fr) Теорема Нетер (uk) ネーターの定理 (ja) |
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