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En mathématiques, le théorème de Poincaré-Bendixson est un résultat qualitatif sur les équations différentielles. Il concerne les équations du type (1) : x' = f(x) où f est une fonction continument dérivable, du plan réel dans lui-même et définie sur un ouvert Ω. Le théorème indique que si une solution maximale reste bornée, alors soit elle converge, soit son comportement asymptotique est celui d'une fonction périodique. Autrement dit, le plan est trop étroit pour admettre comme solutions d'équations de type (1), des trajectoires chaotiques. Ce théorème est utilisé pour l'étude des systèmes dynamiques. Il assure que toute une classe d'équations, comme celle de Lotka-Volterra n'admet que des solutions simples (c'est-à-dire non chaotiques). En dimension 2, le chaos existe, mais pour l'obtenir il est plus simple de considérer une équation aux différences finies comme celle associée à la suite logistique. Ce résultat ne se généralise pas à la dimension trois, comme le montre le système dynamique de Lorenz. Ce résultat est aussi utile en topologie algébrique, il permet d'établir le théorème de la boule chevelue. Ce théorème est énoncé par Henri Poincaré ; la preuve est finalement complétée par Ivar Bendixson en 1901. (fr) |
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L'équation vérifie les conditions du théorème de Cauchy-Lipschitz. En effet, la fonction différentielle df est continue, elle admet un majorant, noté ici k, de sa norme, sur le compact K, car elle est continue et toute fonction continue, définie sur un compact est bornée . Le théorème des accroissements finis montre que la fonction f est k-lipschitzienne, ce qui montre que les hypothèses de théorème de Cauchy-Lipschitz sont bien respectées. :* Une fonction s vérifiant les hypothèses du théorème de Poincaré-Bendixson possède comme domaine de définition l'ensemble R tout entier : Soit I de domaine de définition de s, le théorème de Cauchy-Lipschitz montre que I est un intervalle ouvert non vide de R. La fonction s est uniformément continue sur I, on peut donc prolonger cette fonction sur l'adhérence de I et ce prolongement est encore une solution de l'équation différentielle. Comme cette adhérence contient I, et que s est une solution maximale, l'intervalle contient son adhérence, autrement dit il est fermé. Le seul ouvert, fermé non vide de R est R tout entier car R est connexe, ce qui montre que le domaine de définition de s est égal à R tout entier. :* Une fonction s vérifiant les hypothèses du théorème de Poincaré-Bendixson et possédant un point double est périodique : Supposons qu'il existe deux nombres réels τ et δ > 0 tel que s = s. Considérons la solution maximale de l'équation avec la condition de Cauchy x = s. Elle admet deux solutions maximales, la fonction s et la fonction qui à t associe s. Le théorème de Cauchy-Lipschitz garantit l'existence d'une unique solution. Ces deux solutions sont donc égales, ce qui montre la périodicité de s. (fr) |
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En mathématiques, le théorème de Poincaré-Bendixson est un résultat qualitatif sur les équations différentielles. Il concerne les équations du type (1) : x' = f(x) où f est une fonction continument dérivable, du plan réel dans lui-même et définie sur un ouvert Ω. Le théorème indique que si une solution maximale reste bornée, alors soit elle converge, soit son comportement asymptotique est celui d'une fonction périodique. Autrement dit, le plan est trop étroit pour admettre comme solutions d'équations de type (1), des trajectoires chaotiques. (fr) |
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