���������. (original) (raw)

���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���
���

��������� (γήμετρώ � �����, μετρώ � ����). � ������� � ������������, ��������� � ����� ����������� � ����� ��������������, � �������� ������� ��� ������ ��� � �������� ���������. ������ ���� � ��������� ���� ������� ���������� � ��������. � ������ ��������� ���� ������� ���������� ������� (637-548 �� �. X.), ����������� � ������ � ���������� � ������ ��� ���������� ��������� �����, ������ ����������� ������ �������� �������������. ������ ������, ������� (580 �� �. X.), ������� � ������ ��������� �����, ������� ��� ���. �������� �����������: ��������� � ��������������� ��������� � ������� ��������, ������� � �������� ����������, �������� ����� ���� maximum ����� �������� ������ � ���� �� ���������, ����������� �������� ���� �, �������, ������ ������ ���������� ��������������, �������� ������� ���� � ���������� ������� � ������� �����. ��������� ������� ��������� � ������ ���������� � ������� (430-347). ������ ������ ������ �� ������ �������� ��������� � ����� ������ ����, ������� �� ������ ��������: "����� �� ������� ��������� �� ������ ����". �� ������ ��������� �� �������������, ������ ������������� ��������� ��������� ��������� � ����� ��� ����������� �������������� ������, ��������� ������� ���������� ������� � ���������� ������������� ������ � �������������� ������.

������ �������� �� ��� ������ ������� �� ���������, �������������� �������� � �������������� �������� ��������� �����������, ����������� ����������� ���������������� �������� ������� (285 �� �. X.). ��� ����������� ��������� ����� �������� "������" (στοίχεια, Elementa) � ������������ ������ ���� ��� ���������� ������������ ���������, �������, �� ������ ��������� ������������, �����, � ������� ��������� ������ � ��������� ����� � ���� ������������ ������� ������� ���������. �������� ����� �������� �������� ������ ��������������, ��������� � �������������� ����������� ����������������. � ��� ����� ������������ ���������� ������������������ ��������� � ��������� �������������. �������� ������� � �������� (����), �������� ������������� � ���������, �� ���������� ������� �� �������� ���������, �� ��� ������� ������� �������: "� ���������� ��� ������� ������". ����������� ������� ��������, ��� ��������, ��� ����������, ��� �� ������, ��� ��������� ��������� �� ������ ��������� ��� ��������� ��������������. ����� "�����", �������� �������� ���� ��������� ������ �����, ������� �� ����� �� ���; �� ���� ����� ���������� �������� ����� ���������� ������� ��� ��������� "�������" (Πορίσματα).

�� ���� �������� �� ����� ���� �� ������� ��������� ���������������� ���������� �������. ��������� �� ���������� ��������� ��������� ����� �������� ���� ���������� � �������������� � �������� ���������� ����� �������� �� ������ ������� �������. ��� ������ ���� ������ � �������� ����� ������� � ���������, ������������ ������� ��� ���������� �����������. ����������� ��������� ������������� ������ ��� ����������� ��� �������� ������ �����. ��� ����� ������������ ��������� �������� ����� ����������� � �� �����������, ��������� �� ��������. �������� ��� ���������� ����������� ��������, � ������ ����������� ������ �������� �����, � ����� ������������� ������� ������ �����. ���, ��������, ���� � ����������� ���������� � ������. �� �� �������� �����, ������� ����������� � �����������, ����� �������� ����������� ������� ����� � ���������� ������� �������� ����������� ��������� ���, ��������, ����������� � ����� � ����������� �������� ����������� � �������. ������� ������� � ��������� ��������������, ������ ���������� ��� �����, �������� ������������ � ��� �������� ����� � �������. ��������� ������ ��������� ������ ������ �������� ��� �������� � ���������. ������ �������� (287-212) ��������� ��������������� � ��� ���������� ��������� ����. ��� ��������� ��������� ���������� ������������ �����������, ������ �������� ����������� ����� ��������������� ����������, ��������� � ������, � ������� �� ��������� ���������, ��������������� �������� �����, ��������� �� �� ���������, �� �� ��������� �� �������� ���� �����.

���������� �������� �������� � ���������, ������ ����� ���� ������������ �� ��� ���������� ��������� ���������� � ��������, ������ ��� �������������� �����, ����������� ��� ���������, ���� ���� ������ ����������� 22/7. ���������� �������� ������������ ������ ������ �� ��������� ��������, ������������ ������� �������. �������� ��������, ������� � ���� � ��������, ������ ��������� � �������� ���� ���������� ����������� ����������� �����, �������� ������� ������� ������� ��, ��� � ��������� ��������� ��������� (247 �� �. X.) ��������� � ��������� �����. ���������� �������, ������ ������ �����������, ��� ������� � ���������� ��������. ����� �� ����� ������ ������ ���� �����, �������, ��������� � ��������, ������� ����� �������� ���������� �������, �������� �� ����������� ���������, ��������, �������, ��������, ������� � ������, ������ ������� �� �������� � ��� ���������� �������� �� maxima � minima. ������ ���������, �������� ���� � ����������� ������� ����, ����������� ���� ���������. ������������� �������� � ��������� ��������� ���� ��������� �� ���������� � �� ����� ���������, ������� ����� � ���� ������. ���� ��������� ������ �������� � �������� (125 �. ����� �. X.). � ���� �������, � ����� � "��������" ������� (80 �. ����� �. X.) �� ������� ������������� � ����������� ������������� ������� ������. ���� ������ ��������������� ����� ���� ��� ������ ������ ���������; ����� ��������� ����������, �� ��������� ��� ���� �������������, �� ������� �� ����� �������� ���������� ����������� ������. ��������� �������, ������� �������� "Collectanea mathemati c a", ���������� ��� �������� ��� ���������� � ���������� ��������� � ������, ��� ����������� ��������� ������� ���������, ��� ��������, �� ����� �� ���. � ������� ������� �� ��������� ��������� ������� �������� (��. �������), ������� ������ �� ���������� � ��������� � �������� ��������������, ���������� � ���������� �������. ��� ������� ������������ ����� ���������� ����� ������ �� ���������. ��� ������ ��������� �� ��� �����: �� ��������, ���������� ���������, ��� ��������, � ������ ���������, ������� ������������ ������������ ������� �������� � ������, � ���� ������� ��� ����� ����������� �������� ��� �������������� ������ � ������� �����. ��� ��������� ����� �������� ���������� �������� �������������� �������� ������� ������.

���������� ������ (638 ����� �. X.) �������� ����� ��������������� �����. � VIII � �������� � IX ��������� ����� ������� ����� ��������� � ������. ������ �������� ����������� ����� �������� ���������� �������� �� ����� ������. ������ ��������� ������ ����� ����� �������������� ��������, � ������ �������, � �����������, �� ����� �������� � ��� ��������. ����� �� ������ ����� ������������ � �������, ��� ����������� � � �� �������������� �������. �������������� ����������� ����� ������ ���������� � �� ������� ����������� �����������. ���, �� ��������� ��� ����������� ���������: ������� �����, ������, ��������, �������, ������������ ��������. ��������� �� ������� ���� ����� ���� ������� ������������ ���������� ����� (1540-1603). ���� �������� ������� � ���������� �������� ���������. �� ������ ������� ��������� ������ � ������� ��������, � ������ ����� ������ � ���������� �����, ������������ � ���� ������ ������. ������, ��� �� �������� � ������ ����� ��������� �������, ���� ��������� ��� � ���� ���������� ���������: ������� (1571-1631), ������� (15 7 0-1633) � ������� (1623-1662). ������� ����������� ������ ���������� ��������������. ������� ����������� ������ ��������� � ������� ������ � ������ ����� ������ ������, ����������� � ������� �����. �������, ��������� ������ �������� � �������� � �� ������ �����������, ����� � �������� ����������� ��� ���������� ������� � ��������������, ��������� � ���������� �������, � �� ���� ������� ����� ������ ������ ���� �����. �� ������� ������� ����� ������ ������� ��� ������������ ������� (1593-1663), ������ ���������� ��������, �������������������� ������ ���������� ������� � ��������� ����� �� �������� ���������� ��������� � �������. ������ ���� ��������� ��������� � ����� XVI ��������, ����� ����� ������� ��������� ���� ������� ���������� ����� ������������. ����������� ������������� ��������� ��������� � ����� ����� � ����������� ������, ��� ����� ������ �������� � ����������� ����������������� ����������. ����� ������� �������� � ������ �� ����������� ���������� ������� � ��������� � ����� �� ������ ��������� �������, ��������� ���������� ��������� ����� �� ��������� � � ������������ ��� ������ ��������� ����� ���������� ������������. ����� ����� ����� ��� ��� ����������� ��������� ����� �� ��������� � ��� ��� ������������. ��������� ����� ������������, �������, �� ���������, � �� ��������� � ��������� ���������, ��������� ���������, ������������. ���, ��������, �� �������� �������� �� ��������� ����� ������� ��� ������� ���������������� ������ OX � OY, ���������� �����. ����� ��������� ������ ����� M ����� ���� ���������� ����� ������������ ����� M �� ����. ��� ������� ����������� ��������� ����� M �� ��������� ��� ������ ���������� �� ���� ���������� ���� ����������� ����������� ����� + ��� �, ���� �� ����, � ������� ������� ��� ����� ����� M, ���, ��� ��� �������� � ������������� ��� ������ � ��������. ����� ���������� MQ � MP, ������ � ���������������� �������, ���� �� ����� X � Y, �������� ������������ ��������� ����� �� ���������.

X = �QM, Y = �MP.

����� ������ ������� �� ��������� ����� M � �� ������ ������������� ����������� �� ����. ����, �������������� ������ ���������� ��������� ��������� ����� �� ��������� ���������� � ������� ������� �� ����������� ��������� ���� �����. �����������, ��� ���� �� ������� ��������� ������ �������, ��������������,

ax + by + c = 0,

�� ����� ������������ ��������� �����, ���������� ������� x, � ������������� ����� ���������; ��� ����� ����� ����� �� ��������� ������. ����, �� �����, ���, ���� ������ ������������ a, b, c, �� ���������� ��������� ���������� ��������� ������, ������� ����� ���������, � ��������, ��� �� �� ���� ������ ��������� ������ �� ���������, ����� ����� ��� ����� a, b, c ��� ���������������� �� ���������. ����� �� �����, ��� �������������� ������ ����������� ��������� ��������� ������ �������� �� ������ �������, ��������� � ���������� ������������� ���������� ���������. ���� ������� ����� �������������� ��������� ������ �������:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

�� �����������, ��� ��� ������ ������������� ��� ��������� ���������� ��������� ���������� �������, �. �. �����: ������, ��������� � �������� ��� ������� ���� ������, ������� �������, ��� ��� �� �����, ������� ��� ������������ ��� ������. ��� ������� ��������� � ������ ������� � ����� ���������, ����������� ��� ������ ����������� � ���� ����� ���������� ������������, ��������� ������ �� �������������� �������� ��� ����������. ������������� ���������, ������� � ��������� ���������� �������, ��������� � ������������ ��������� ������� � ������ ��������, ������� ��������� ����� �������, � ������ ��������� ������������� ��������� ������. ����������� ������ �����, ������������ ����������, ����� ����� � ��������� ������ ������ ������������� � �������� �� ���������� ��������� ������, ��� �������, �������, �� ������� ������ ���������; ������ �������� ������� � ������������� �������. ������ ���� ����� �������� ������ � ���������� ����������� � ��������� ������ ������. ������������ ��� ������: �� ������� ��������� ������ ����� ��������� �����������, ��� ���� �������� ������ ����������������� ����������. � ��������� ���� ��������� �� ����� ����� ����������� � ��� ��������� ����� �� ���������� ����� �������������� ������������ x, y, z, ������� ���� �� ��� ����, ��� ���������� �� ���� ������� ���������������� ����������. ��������� ax + by + cz + d = 0 ���������� ��������� ���������. ������ �� ����� � ������������ ������������ ����� ����������� ���� ����������, � ����������� ������� ��� ���������. ����� ��������� ������ �������:

A1x2 + A2y2 + A3z2 + b1yz + B2xz + B3xy + C1x + C2y + C3z + D = 0,

���������� ��� ������������, ����� ������� ��������� ���, ������ �������� �����, �������� ������� � ���������, �������� ������� ���� � ��������. ����� ���������� ������� � ���, ��� ��������� ����� ����� ������������ � ������������ ���������� ������ ��������� ������ �����������. ������ �� ����� � ������������ ������������ ��� ����������� ���� ������������ �, �������������, ����� �����������. ��� ����� ���������� ������� ����� ��������� �������� ���� ���������� � ������ �������� ����������� ���������. ������� ��������������� ������������� ��������� ���������� � ��������, ����� ������. � ����� ����, ��������, � �������� ������������� ��������� ������ ������ ���������� ����� �� ������������� ������ ���������� ��������� ����������. �������� ���������� ���������� �����, ����������� �� ������������ ������������� ��������� � �������������� ����� ������� � ��������, ����������� � ����� ��������� � ������� � ��������� ���� � � ���������� ���������� � ������ �������� ����������� ���������, ��� ������ � ���� ����������� ����� ��������� ������������ ������ ���������. �� ���� ����� �������������� ������������ �� �����������. ��� ������ � "Principia mathematica Philosofiae naturalis" ����� ����������� �������������� ��������������. ����� (1682-1716) � �������� (1698-1746) ������� ����� �������� �������������� �����. ������ ��� ���������� ������, �������� ������������ ������� � ������� �������. �������� ������ ������� ��������� � �������, ������ ����� � ���������� �������� � ������� ������������ ���������� "������". ����� ���������� ��������, ������������ ������� (1707-1783), ��������� (1728-1 7 77) � ������� ���������� ����������, �� ����� XVIII ���� � ��������� �� �� ��������� ����� �����. � ������ �I� �������� ��������� ��� ���������� �������������� ���������

��� ���������, ����� ����������� ������� ����������� ����������� ���������� �����, ���� ���������� ���������������� �������� �� ��������� ���, ����� �� ����� ����������� ����� ���� ����� ������ � �������� � ����� ��������, � ����� � �������� ������������ ������. �������� ���� ���� ������ ������� � ���, ��� �� ������ ��������� ������������ ��� �������� ������ ������, �� �� ���� ������� ���������������� ����������, ���, ������ ������ ����� ������������, � �������������� ��������� ������� ������������ ����� ���������, �� ������� ���� ������������ ���� ����� ��������, � ������ ������� ��� ���. �� ������ �������� ������ ������ �������� ���� ����� ���������� � �������. ������ ������������� ����������� ����������, �������������� ��������� ������ ����� ������ � �����: ��� �������� ����� ����� �������� �������� � �������� � ������������ � ���� ����� ��� ������� ������� ��� ��������� �� ������� ����� � ������������ ������ ������� ��������� ����� ������, ����� ����������� �������������� ������ �������������, ��������� ��� ������ �������� �������������: ��������� ����� ������, ��������������� � ����� ����������, ����� ���� ��� ���������������, ��� � �������; ����������� �����, ��� � ������ ���������������� ��� ����� ������ � ������� ��� �������������� ������� � ��� ��� �������������� ��������� ����� ����� � �������� ������. ����� �������, ��� �� ��������� ������ ������������� ������� ����� ����� ������ (����, "Aper çu historique", 1837).

��� ���������� �������������� (���������������) ����������� � ���������, ��������� ������, ����������� ���������� ����� ����� �������������� �������, ������������ ��� ���������� �������������, ��� �����, ��������� ��� ��������� ���� ����������� ��������������� ������� �������, � ������� �������� � ���� ����������� ���� ������� ������ ������� � �������. ����� ������ �� ��������� ��������� ������: �����, "��������� ���������", �����, "Developpements de Geometrie", � ������� ���������� ��������� �������: ������� � ����������� ��������� �����, ��� �������� ������ �������� ����� � �������������� �����, ������ �������� ��� �������� ���������� ������� � ������������ ������� �������. ������������� �������� �������� ��� ����� ������ � ������� ���� � �������� �� ��� ��������� ������ ��������� � ��������� "Geometrie superieur". �� ������� ��������� ����� ���������� � �������� �������������� ����� ����� ���������� �������e���, �� ��� �� ����� ������ �� � ������ ������� ��������������� �������� ����������, ����������� � ������ ���������, � ����� �� ��, � ����� ��������� � ��������� ���������� ������ ���������� ������� � �������� ������ ������������� ������, ���� �����������. ������� �������� ���������� ����� � ��������� � ��������������� ������������������ �� �������������, �� ������ ��������� � ��� ���������� ������������ ���������.

��������, ��� � ��������� ��������� �������, ��� ��� ���������� ���������� ���������, ����� ��������� ������� ��� �����������, �� ���������� ��������������. ���� ������ ���: 1) ��� ����� �� ��������� ���������� ��������� ������������� (����������) �����, ���������� ����� ���; ��� ����� ���� ������. 2) ������ �� ��������� ����� ���������� � ������ ����� ��������� �� ������ ��� ��������� �� �������; ��� ������� ���������� ��� �������������� ��������� ������������� ����������� ��������� ������ �� ��� �� ������. �������, 3) ��������� �������� (�������) �������, ����������� � ������ ������������ �����; �����������, ��� � ������ ������������ ����� ���������� ���� �� ����������� ��������� �� ��������, ��� �� ��������� ����������� ��������� �� ����, ������ ����� ���� ��� ������� ����������� �� �������� ���������� ����������; ���, ��������, ������ ��������� �� �������� ��������� �����������: "���� ��������� ������ ���������� ��� ������, ������ ����� ���������� ����� �� ���� ������� ������� ������ ���� ������, �� ��������������� ��� ������ ��� ����������� ������������, ������ ������������ � ��� �������, ��� ����� ���������� ����� ������ ���� ������".

���������� ���������� ��������� �������� ��������� �������� ��������� ������� �� ������ ����; �� ��� ������������ �������������� ����� ����� ��� ����� ������� ��������������� ���������� ���������; ������ ������� �����, ��� ������ ������� �� ���� ��������� ������ ����, � ��������� ���������� ���������������, ��� ������������ ���� �������� ����������� ���������� ������������ �����������. �� ��������� ���: ���� �� ������ ��� ������ �������, ������ �� �������� ��� ��, ��� �����, ������� ������������, �� ��������������, � �������� �� ���� �������� ������ �������������� �������, �� ������ ��������� ���� �� ����: 1) ���� �������� ������� ���� ��������� ������ ����, �� ��, ��������, ���-������ ������ ������ � �������, ��� ������ ��������� �� ���� ������������, �� ������� ���� ������������ ���������, ����������� �� ������ ����; 2) ���� �� ��, ����� �������������� �������, �� ������ ����� � ����������� ������������, �� ��� ����� ������� ���������������, ��� �������� ������� ���� �����������, ���������� �� ��������� �� ������ ���� ������, ������� �� ������ ���� �������� ������������ �����. ������ ����������� ���� ������������, ��������� ����������� ������ �� ��������, ��� ����� ����� ����� �������� �� ���� ������ �����, �� �������������� � ������, ��� ��� ����� ����� � ��������� �������, � �������� ����� �������������� �������, ������ �������� �� ���� � ������. ��� ��������, ��� ������ ������� ���� ������������� ����������� ���������������, ������� �������� ������ ����������� ������� ����� ���������, ��������� ��� ��������� ������������. �������, � ��������� ������������ ������� ������ ������������ ����� ����, ������ � ��������� �������; ���, ��������, ����� ����� � ������������ ������ ���� ������, ��� �� �������� ��������� �������������, �� ��� �������, ����������� ����, � ��������� ������� ���� �� ��, ��� � � ������������, ��� ���������� �� ���� ������ ��������, ����� ����� ��������� ��������� ������������ ������������, ������� �� ������ �������, �������� ������ ���������� � ����������� ��������� ����������. ���������� ���� ������� � ���������. �����������, ��� ��������� ������������ ��������� �� �� ���������, ��� ��������� �������, � �� ��������� ������ �����������, ���������� ������������, � ���� �� ��������� � ������� ��������� ����� ��������������� ����������� ��������� � ����� ����: �� ���� ������������� (����������) �����, ����������� ��� �����, ���� ���� �������� �����, ������� ������������ ������ �������� ���� �����, ��� ����������, ��� � ����������� ��������� ������ ������� ����� �����. ���������� ���������� �������� �� ���� ������ ���� ����������� ������ ����� ���������� � ������ ����� ���� �� ������, ��� ����������, ��� ����� ����� � ������ �������. ��� ��� ������ ��� ������� ����� ������������ ����� �����, �� �� ���� ��� ���������������� (������������) ������������� �����. ����������� ��� ���������: �����������, ������� � �����������, �� �����, ��� ��� ������� � ��������� ������������� �� ������ ������������ ����� � ���� ��������� ���������, ��� �� �������� ������������ �����, �� � ������� ���������, ����� �����, ������� ��� ������, ����� �������� ���� �� �������������� � ������ ������ ������; �� ����������� ������������ ����� �����, ������� ��� ��������� ������������� �����, ����� �������� ������������ ��������� �� �������������� � ��� ������������� �����, �, �������, �� ���� ����� �����, ������� ��� ���������� �������� �����, ������ �������� �� ������ �������� �����, �� ��������������� � ���. ��������� �������� ����� ����� ��������� ��������� ��� ����� �� ������� � ����� ����� ������������: �� ��������� ����� ����� ������������ ����� ���� ������; �� ���� ��� ����� ����� ������������ ������ ���� ������ �� ��������� �����, ���������� ����������� ��������; � ��������� �� ������������ ����� ����� ������������ ������ ���� ������. �� ����� ���������� �����, ��� ������� � ��������� ���� �� ��� ����, ��� ��������� ������� ���� ��������, �� ������� �� ������ ���������: ������ ������� � ���������, �� ����������� ������������� ����� ����� �������, ����� ����� ��� ���� ����������� ������������; ������ ������� �������� �������� ������������, ������� �� ���� ������ ���������� ��������, � ����� ������� ����������� ���������, ��� � ����������� ������������, � �������, ������ ������� ������� �������� ��������, ������������� ����� ������ ���������.

��������� ������� ���� ������ ������ ��� ������ ������� � �������, ������� ������� � ��� ������ ��������� �������������� ��������: ���������� ���� ��������� ����� ������ ��� ������ ������� � ���������� ����� �� ���������� ������ � ������� ��� ������ �������. �����������, ��� �� ��� ������ �� ������ �������� ����� ���� ������� ������ ����� ����������. ��� ������ ������� � ������� �������� ������ ����� ��������� ������ � ������ �������, ������������ ������� ��� �������� ����� �������� � ������� �����, ��� �� ��� ��������� �� ���������� ������ ������ ��������� ���� ��� ������, ��� ������ �������, ��� ��� ��� ����, ����� ������ �������� �������� � ��������, ����������, ����� ��� ������������ ����������� � ��������� ������ ��� ������ ������� ��� �� � ���� ��������� ������ � ������ �������. ����� �������, ������ � ������� ���� �� ��� �����, ������ ������, �� ����������� ��������� ������� �������, ���, ��������, ������ ���� � 90�, �� ����� ���� ������� �������� � ��������, ��� ������������ �������� � ��������� ������� �������, �� ������������� � ���������� ������ � ������. ����� ��� �� ���������� ��� ������ ������� � ������� ������ � ���������� ��������, ������������� ��������� ����� (���������� ���������� �����), ��� ������� �������� �������� ������� � �������� ����� ��� ������ ���������� ����� π, �������, ��� ��������, ���� ����� ���������������, �� ������� ���� ������ �������� ��������������� ���������. ��� ����� ������� ���� �������� �����, ���� �� �������� ������� ��� ������� �� ����������� ��� ���� �������, ��� ���� �������. ��� �������� ������ ��������� � ��� ���������� ��������� ������� � ��������� �������. ������ ��� �� ������ ��������� �����. ��������������� ���� ��������� ��������� ����� ������� ��������� ������: �� ��������� ��������� ����������� n ������ � ����������, �� ����� ����� ������ ��� ������ ��������� ���������.

�. �����.