Характер кубического вычета | это... Что такое Характер кубического вычета? (original) (raw)

Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Содержание

1 Определение
2 Кубический закон взаимности
3 Другие свойства характера кубического вычета
4 Список литературы

Определение

Пусть

$\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}$ -	({{{2}}})

кубический корень из единицы.

Рассмотрим D=Z[w] — кольцо целых алгебраических чисел, то есть чисел вида

$\alpha = a + b\,\omega$ ,	({{{2}}})

где a и b — целые числа.

Пусть $\pi$ — простое в кольце D с нормой $N\pi$ . Определим характер кубического вычета следующим образом:

Заметим, что при $\pi$ , не делящем $\alpha$ , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: $\{1,\ \omega,\ \omega^2\}$ .

Кубический закон взаимности

Назовём $\pi$ примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть $\pi$ и $\theta$ — примарные, тогда

$\left(\frac{\pi}{\theta}\right)_3 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_3$	({{{2}}})

Другие свойства характера кубического вычета

$\left(\frac{\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{m+n}$
$\left(\frac{1-\omega}{\pi}\right)_3 = \omega^{2m}$

Список литературы

Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.
Franz Lemmermeyer Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4

Характеры в теории чисел и Характер в теории групп
Квадратичные характеры	Символ Лежандра • Символ Якоби • Символ Кронекера — Якоби
Характеры степенных вычетов	Характер кубического вычета • Характер биквадратичного вычета • Символ степенного вычета