Характер биквадратичного вычета | это... Что такое Характер биквадратичного вычета? (original) (raw)

Характер биквадратичного вычета – теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется биквадратичный закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Содержание

1 Определение
2 Биквадратичный закон взаимности
3 Другие свойства характера биквадратичного вычета
4 Список литературы

Определение

Рассмотрим D=Z[i] – кольцо целых алгебраических чисел, то есть чисел вида

$\alpha = a + b\,i$ ,	({{{2}}})

где a и b – целые числа.

Пусть $\pi$ - простое в кольце D с нормой $N\pi$ . Определим характер биквадратичного вычета следующим образом:

Заметим, что при $\pi$ , не делящем $\alpha$ , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: $\{1,\ -1,\ i,\ -i\}$ .

Биквадратичный закон взаимности

Назовём $\alpha$ , не являющееся единицей, примарным, если оно сравнимо с 1 по модулю идеала ((1+i)^3) . При этом неединица $\alpha=a+b\,i$ примарна тогда и только тогда, когда $a\equiv1\pmod{4}$ , $b\equiv0\pmod{4}$ или $a\equiv3\pmod{4}$ , $b\equiv2\pmod{4}$ .

Пусть $\pi$ и $\theta$ - взаимно простые примарные элементы в D, тогда

$\left(\frac{\pi}{\theta}\right)_4 = \left(\frac{\theta}{\pi}\right)_4(-1)^{\frac{N\pi-1}{4}\frac{N\theta-1}{4}}$	({{{2}}})

Другие свойства характера биквадратичного вычета

Список литературы

Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.
Franz Lemmermeyer Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4

Характеры в теории чисел и Характер в теории групп
Квадратичные характеры	Символ Лежандра • Символ Якоби • Символ Кронекера — Якоби
Характеры степенных вычетов	Характер кубического вычета • Характер биквадратичного вычета • Символ степенного вычета