Аналитическая функция | это... Что такое Аналитическая функция? (original) (raw)

Аналити́ческая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция f называется аналитической в точке z_0, если сужение функции f на некоторую окрестность z_0 является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке z_0, то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки z_0.

Аналитическая функция (комплексного переменного) — функция комплексного переменного f(z)=u(z)+iv(z) (где u(z) и v(z) — вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в каждой точке некоторой области A\subset\mathbb C, называемой областью аналитичности, выполняется одно из трёх равносильных условий:

  1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке z=x+iy\in A выполняются условия Коши — Римана (аналитичность в смысле Коши — Римана);
  2. Ряд Тейлора функции в каждой точке z\in A сходится и его сумма равна f(z) (аналитичность в смысле Вейерштрасса);
  3. Интеграл \int\limits_\Gamma\,f(z)\,dz=0 для любой замкнутой кривой \Gamma\subset A (аналитичность в смысле Коши)

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность трёх определений.

Свойства

Если f(z) и g(z) аналитичны в области G\subset\mathbb C

  1. Функции f(z)\pm g(z), f(z)\cdot g(z) и f(g(z))\, аналитичны в G.
  2. Если g(z) в области G не обращается в ноль, то \frac{f(z)}{g(z)} будет аналитична в G
  3. Если f'(z) в области G не обращается в ноль, то f^{-1}(z) будет аналитична в G.

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов, что, впрочем, и неудивительно — определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции — в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме:

Примеры

Все многочлены являются аналитическими функциями во всей плоскости \mathbb C. Далее, аналитическими (правда, в большинстве случаев в каких-то определённых областях) являются элементарные функции.

Но:

  1. Функция f(z)=|z| не является аналитической в \mathbb C, так как она не имеет производной в точке z=0.
  2. Функция f(z)=\overline{z} не является аналитической по тем же соображениям. Однако её сужение на вещественную ось будет аналитической функцией, так как оно будет совпадать с сужением функции f(z)=z.

Литература