Окрестность | это... Что такое Окрестность? (original) (raw)

Окре́стность точки — множество, содержащее данную точку, и близкие (в каком-либо смысле) к ней. В разных разделах математики это понятие определяется по-разному.

Содержание

1 Определения
- 1.1 Математический анализ
- 1.2 Общая топология
2 Замечания
3 Пример
4 Вариации и обобщения
- 4.1 Проколотая окрестность
5 См. также
6 Примечания
7 Литература

Определения

Математический анализ

Пусть $\varepsilon>0$ произвольное фиксированное число.

Окрестностью точки x_0 на числовой прямой (иногда говорят $\varepsilon$ -окрестностью) называется множество точек, удаленных от x_0 не более чем на $\varepsilon$ , то есть $O_\varepsilon(x_0) =\{x: |x-x_0|< \varepsilon\}$ .

В многомерном случае роль окрестности выполняет открытый $\varepsilon$ -шар с центром в точке x_0 .

В банаховом пространстве $(B,\|\cdot\|)$ окрестностью с центром в точке x_0 называют множество $A=\{x\in B:\|x-x_0\|<\epsilon\}$ .

В метрическом пространстве $(M,\rho)$ окрестностью с центром в точке называют множество $A=\{x\in M:\rho(x,y)<\epsilon\}$ .

Общая топология

Замечания

Пример

Пусть дана вещественная прямая со стандартной топологией. Тогда (-1,2) является открытой окрестностью, а [-1,2] — замкнутой окрестностью точки .

Вариации и обобщения

Проколотая окрестность

Проколотой окрестностью точки называется окрестность точки, из которой исключена эта точка.

Строго говоря, проколотая окрестность не является окрестностью точки, так как согласно определению окрестности окрестность должна включать и саму точку.

Формальное определение: Множество $\dot{V}$ называется проко́лотой окре́стностью (вы́колотой окрестностью) точки $x\in X$ , если

$\dot{V} = V \setminus \{x\},$

где — окрестность .

См. также

Словарь терминов общей топологии

Примечания

↑ Рудин, 1975, с. 13

Литература

Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
У.Рудин Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.