Valentin Gorokhovik - Academia.edu (original) (raw)

Papers by Valentin Gorokhovik

arXiv (Cornell University), Aug 10, 2022

We introduce an extended tangent cone of high order to a set and study its properties. Then we us... more We introduce an extended tangent cone of high order to a set and study its properties. Then we use this local approximation for deriving high-order necessary conditions for local minimizers of constrained optimization problems.

arXiv (Cornell University), Oct 17, 2017

We say that a positively homogeneous function admits a saddle representation by linear functions ... more We say that a positively homogeneous function admits a saddle representation by linear functions iff it admits both an inf-sup-representation and a sup-inf-representation with the same two-index family of linear functions. In the paper we show that each continuous positively homogeneous function can be associated with a two-index family of linear functions which provides its saddle representation. We also establish characteristic properties of those two-index families of linear functions which provides saddle representations of functions belonging to the subspace of Lipschitz continuous positively homogeneous functions as well as the subspaces of difference sublinear and piecewise linear functions.

Доклады Национальной академии наук Беларуси, Aug 2, 2016

Для функций различных (непрерывных, липшицевых, разностно-сублинейных, кусочно-линейных) подпрост... more Для функций различных (непрерывных, липшицевых, разностно-сублинейных, кусочно-линейных) подпространств пространства положительно однородных функций доказано существование и указаны характеристические свойства двухиндексного семейства линейных функций, задающего одновременно минимаксное и максиминное представления таких функций. Ключевые слова: положительно однородные функции, минимаксное представление, условие Липшица, разностная сублинейность, кусочная линейность.

Выдающиеся ученые Беларуси ФЕДОР ДМИТРИЕВИЧ ГАХОВ (к 100-летию со дня рождения) 19 февраля 2006 г... more Выдающиеся ученые Беларуси ФЕДОР ДМИТРИЕВИЧ ГАХОВ (к 100-летию со дня рождения) 19 февраля 2006 г. исполнилось 100 лет со дня рождения из вестного советского математика, основателя белорусской школы по краевым задачам и особым интегральным уравнениям, академика, Доктора физико-математических наук, профессора Федора Дмитрие вича Гахова. Ф.Д. Гахов родился в станице Баталпашинской (ныне г. Черкесск) Ставропольского края в семье ремесленника-бедняка. После оконча ния Черкесского педагогического техникума в 1925 г. Ф.Д. Гахов поступил в Горский педагогический институт (г. Владикавказ). В 1928 г. его как одного из самых талантливых студентов по рекомендации профессора Л.И. Креера перевели на учебу в Казанский государствен ный университет. После окончания университета в 1934-1937 гг. Ф.Д. Гахов преподавал математику в вузах г. Свердловска (ныне г. Екатеринбург) и одновременно обучался в аспирантуре Казанского университета. Под влиянием академика В.И. Смирнова сформировался круг его научных интересов, связанных с решением краевых задач теории аналитических функций и соответствующих им особых интегральных урав нений с ядрами Коши и Гильберта. В 1937 г. Ф.Д. Гахов блестяще защитил кандидатскую диссер тацию «Линейные краевые задачи теории аналитических функций». Академик М.В. Келдыш, впо следствии президент Академии наук СССР, писал об этой работе: «Автором дано полное решение классической задачи Римана новым принадлежащим ему методом и применены современные ме тоды исследования краевых задач к ряду новых задач, до сих пор в полном виде не разбиравших ся. Рассмотренные задачи интересны как с точки зрения теории функций, так и с точки зрения их применения к задачам математической физики». С 1937 по 1939 г. Ф.Д. Гахов работал доцентом, а с 1939 по 1947 г.-заведующим кафедрой математического анализа Северо-Осетинского педагогического института,' в течение двух лет од новременно был деканом физико-математического факультета. В 1942 г. Ф.Д. Гахов успешно защитил докторскую диссертацию «Краевые задачи теории ана литических функций и сингулярные интегральные уравнения», получившую высокую оценку специалистов. В 1943 г. ему было присвоено звание профессора. В 1947-1953 гг. Ф.Д. Гахов являлся профессором, а затем заведующим кафедрой дифферен циальных уравнений Казанского университета, в 1953-1961 гг.-заведующим кафедрой диффе ренциальных уравнений Ростовского университета. С 1961 г. и до последних дней жизни вся научная и педагогическая деятельность Ф.Д. Гахова была связана с БГУ. Всю свою кипучую энергию он отдавал становлению и развитию математи ческих наук в Беларуси: заведовал кафедрой математического анализа, кафедрой теории функций и функционального анализа, работал профессором кафедры теории функций, в 1962-1963 гг.-де каном математического факультета. В 1966 г. Ф.Д. Гахов был избран действительным членом АН БССР. Его научные интересы относились к области краевых задач для аналитических функций и особых интегральных уравнений. Собственные работы, а также работы его учеников охватывали, по существу, весь круг проблем этой теории. Кандидатская и докторская диссертации Федора Дмитриевича оказали большое влияние на последующее развитие теории краевых задач и особых интегральных уравнений. Они способствовали тому, что советская математическая школа в этом направлении стала ведущей в мире, а Ф.Д. Гахов наряду с академиками Н.И. Мусхелишвили и И.Н. Векуа по праву считается одним из ее основоположников. Ф.Д. Гахову принадлежат фундаментальные результаты в таких активно развивающихся об ластях, как одномерные и матричные краевые задачи Римана и Гильберта, особые интегральные

Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020

В статье приводится определение ступенчато-аффинных функций, определенных на вещественном векторн... more В статье приводится определение ступенчато-аффинных функций, определенных на вещественном векторном пространстве, и устанавливается их двойственность полупространствам выпуклым множествам, дополнения которых также выпуклы. С использованием этой двойственности доказывается, что два выпуклых подмножества вещественного векторного пространства не пересекаются тогда и только тогда, когда они отделимы некоторой ступенчато-аффинной функцией. Фактически данный критерий непересекаемости выпуклых множеств является аналитическим вариантом критерия Какутани Тьюки об отделимости непересекающихся выпуклых множеств полупространствами. В качестве приложений получены критерий минимальности решений для выпуклых задач векторной оптимизации, рассматриваемых в вещественных векторных пространствах без топологии, и критерий оптимальности допустимых точек в классических задачах выпуклого программирования, не удовлетворяющих условию регулярности Слейтера. Ключевые слова: ступенчато-аффинные функции, полупространства, отделимость выпуклых множеств, выпуклые задачи векторной оптимизации, выпуклое программирование. V. V. Gorokhovik. Step-affine functions, half-spaces, and separation of convex sets with applications to convex optimization problems. We present the definition of step-affine functions defined on a real vector space and establish the duality between step-affine functions and half-spaces, i.e., convex sets whose complements are convex as well. Using this duality, we prove that two convex sets are disjoint if and only if they are separated by some step-affine function. This criterion is actually the analytic version of the Kakutani-Tukey criterion of the separation of disjoint convex sets by half-spaces. As applications of these results, we derive a minimality criterion for solutions of convex vector optimization problems considered in real vector spaces without topology and an optimality criterion for admissible points in classical convex programming problems not satisfying the Slater regularity condition.

Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2019

Настоящая работа посвящена абстрактной H-выпуклости функций (H заданное множество элементарных фу... more Настоящая работа посвящена абстрактной H-выпуклости функций (H заданное множество элементарных функций) и ее реализации в случае, когда в качестве H рассматриваются пространство липшицевых функций и множество вогнутых липшицевых функций. В работе вводится новое понятие регулярно H-выпуклых функций. Так названы функции, которые являются верхними огибающими множества максимальных (в смысле поточечного упорядочения) H-минорант. Как обобщение понятия глобального субдифференциала выпуклой функции вводятся множество максимальных опорных H-минорант к функции в заданной точке и множество нижних H-опорных точек функции, в терминах которых затем устанавливаются достаточные, а также необходимые условия глобального минимума функции. Во второй части работы абстрактные понятия H-выпуклости реализуются в конкретных случаях, когда функции определены на метрическом или нормированном пространстве X, а в качестве множества элементарных функций H рассматривается множество L(X, R) липшицевых или множество L C(X, R) вогнутых липшицевых функций. Важным результатом данной части статьи является доказательство того, что для полунепрерывной снизу функции, которая, кроме того, ограничена снизу липшицевой функцией, множество нижних L-опорных точек и множество нижних L C-опорных точек совпадают и являются плотными в ее эффективной области. Данные результаты распространяют на более широкий класс полунепрерывных снизу функций известную теорему Брондстеда Рокафеллара о существовании субдифференциала для выпуклых полунепрерывных снизу функций и восходят к одному из важнейших результатов классического выпуклого анализа теореме Бишопа Фелпса о плотности опорных точек в границе замкнутого выпуклого множества. Ключевые слова: абстрактная выпуклость, опорные миноранты, опорные точки, глобальный минимум, полунепрерывные фунции, липшицевы функции, вогнутые липшицевы функции, плотность опорных точек. V. V. Gorokhovik, A. S. Tykоun. Abstract convexity of functions with respect to the set of Lipschitz (concave) functions. The paper is devoted to the abstract H-convexity of functions (where H is a given set of elementary functions) and its realization in the cases when H is the space of Lipschitz functions or the set of Lipschitz concave functions. We introduce the notion of regular H-convex functions. These are functions representable as the upper envelopes of the set of their maximal (with respect to the pointwise ordering) H-minorants. As a generalization of the global subdifferential of a convex function, we introduce the set of maximal support H-minorants at a point and the set of lower H-support points. Using these tools, we formulate necessary as well as sufficient conditions for global minima of nonsmooth functions. In the second part of the paper, the abstract notions of H-convexity are realized in the specific cases when functions are defined on a metric or normed space X and the set of elementary functions is the space L(X, R) of Lipschitz functions or the set L C(X, R) of Lipschitz concave functions, respectively. An important result of this part of the paper is the proof of the fact that, for a lower semicontinuous function bounded from below by a Lipschitz function, the set of its lower L-support points and the set of lower L C-support points coincide and are dense in the effective domain of the function. These results extend the known Brøndsted-Rockafellar theorem on the existence of a subdifferential of convex lower semicontinuous functions to the wider class of lower semicontinuous functions and go back to the Bishop-Felps theorem on the density of support points in the boundary of a closed convex set, which is one of most important results of classical convex analysis.

Mathematical Notes, Aug 1, 1998

ABSTRACT It is shown that each semispaceC X naturally generates a relation of complete preorder o... more ABSTRACT It is shown that each semispaceC X naturally generates a relation of complete preorder onX with respect to which the pair (X C, C) is a cut ofX. By identifying the type of the semispace with the type of the cut generated by this semispace, the semispaces are classified according to their types. The obtained classification extends the classification of semispaces in finite-dimensional vector spaces due to Martinez-Legaz and Singer to infinite-dimensional spaces.

Математические заметки, 1998

Optimization

Given a set H of functions defined on a set X,à function f : X Þ Ñ R is called abstract H-convex ... more Given a set H of functions defined on a set X,à function f : X Þ Ñ R is called abstract H-convex if it is the upper envelope of its H-minorants, i.e., such its minorants which belong to the set H; and f is called regularly abstract H-convex if it is the upper envelope of its maximal (with respect to the pointwise ordering) H-minorants. In the paper we first present the basic notions of (regular) H-convexity for the case when H is an abstract set of functions. For this abstract case a general sufficient condition based on Zorn's lemma for a H-convex function to be regularly H-convex is formulated. The goal of the paper is to study the particular class of regularly H-convex functions, when H is the set L p CpX, Rq of real-valued Lipschitz continuous classically concave functions defined on a real normed space X. For an extended-real-valued function f : X Þ Ñ R to be L p C-convex it is necessary and sufficient that f be lower semicontinuous and bounded from below by a Lipschitz continuous function; moreover, each L p C-convex function is regularly L p C-convex as well. We focus on L p Csubdifferentiability of functions at a given point. We prove that the set of points at which an L p C-convex function is L p C-subdifferentiable is dense in its effective domain. This result extends the well-known classical Brøndsted-Rockafellar theorem on the existence of the subdifferential for convex lower semicontinuous functions to the more wide class of lower semicontinuous functions. Using the subset L p C θ of the set L p C consisting of such Lipschitz continuous concave functions that vanish at the origin we introduce the notions of L p C θ-subgradient and L p C θ-subdifferential of a function at a point which generalize the corresponding notions of the classical convex analysis. Some properties and simple calculus rules for L p C θ-subdifferentials as well as L p C θ-subdifferential conditions for global extremum points are established. Symmetric notions of abstract L q C-concavity and L q C-superdifferentiability of functions where L q C :" L q CpX, Rq is the set of Lipschitz continuous convex functions are also considered.

Differential Equations, 2000

The distinguished scientist Vladimir Ivanovich Zubov. Professor, Corresponding Member of the Russ... more The distinguished scientist Vladimir Ivanovich Zubov. Professor, Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Honorary Scientist of the Russian Federation, has celebrated his seventieth birthday. Zubov's creative and scientific activities have always been related to the Leningrad (at present, St. Petersburg) State University. Vladimir Ivanovich Zubov was born oll April 14, 1930 in Kashira, Moscow region. After graduating from secondary school, in 1949, Vla(limir Zubov entered the Matlmmatical-Mechanical Department of the Leningrad State University. He completed his university studies in four years, graduated with excellence, and entered postgraduate courses. Since December 1955, Zubov worked at the university as a leading researcher. Zubov defended his philosophy doctor thesis in 1955 and doctor of sciences thesis in 1960. Since 1963 he is Professor of the university.

Proceedings of the National Academy of Sciences of Belarus. Physics and Mathematics Series

A function defined on normed vector spaces X is called convex with respect to the set LĈ := LĈ (X... more A function defined on normed vector spaces X is called convex with respect to the set LĈ := LĈ (X,R ) ofLipschitz continuous classically concave functions (further, for brevity, LĈ -convex), if it is the upper envelope of some subset of functions from LĈ. A function f is LĈ -convex if and only if it is lower semicontinuous and bounded from below by a Lipschitz function. We introduce the notion of LĈ -subdifferentiability of a function at a point, i. e., subdifferentiability with respect to Lipschitz concave functions, which generalizes the notion of subdifferentiability of classically convex functions, and prove that for each LĈ -convex function the set of points at which it is LĈ -subdifferentiable is dense in its effective domain. The last result extends the well-known Brondsted – Rockafellar theorem on the existence of the subdifferential for classically convex lower semicontinuous functions to the more wide class of lower semicontinuous functions. Using elements of the subset LĈ...

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2021

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2020

Doklady of the National Academy of Sciences of Belarus

For the functions defined on normed vector spaces, we introduce a new notion of the LC -convexity... more For the functions defined on normed vector spaces, we introduce a new notion of the LC -convexity that generalizes the classical notion of convex functions. A function is called to be LC -convex if it can be represented as the upper envelope of some subset of Lipschitz concave functions. It is proved that the function is LC -convex if and only if it is lower semicontinuous and, in addition, it is bounded from below by a Lipschitz function. As a generalization of a global subdifferential of a classically convex function, we introduce the set of LC -minorants supported to a function at a given point and the set of LC -support points of a function that are then used to derive a criterion for global minimum points and a necessary condition for global maximum points of nonsmooth functions. An important result of the article is to prove that for a LC - convex function, the set of LC -support points is dense in its effective domain. This result extends the well-known Brondsted– Rockafellar...

For a partial order ≼ on a set X and an equivalency relation S defined on the same set X we deriv... more For a partial order ≼ on a set X and an equivalency relation S defined on the same set X we derive a necessary and sufficient condition for the existence of such a total preorder on X whose asymmetric part contains the asymmetric part of the given partial order ≼ and whose symmetric part coincides with the given equivalence relation S. This result generalizes the classical Szpilrajn theorem on extension of a partial order to a perfect (linear) order.

arXiv: Functional Analysis, 2011

For a partial order preceq\preceqpreceq on a set X and an equivalency relation S defined on the same set X ... more For a partial order preceq\preceqpreceq on a set X and an equivalency relation S defined on the same set X we derive a necessary and sufficient condition for the existence of such a total preorder on X whose asymmetric part contains the asymmetric part of the given partial order preceq\preceqpreceq and whose symmetric part coincides with the given equivalence relation S. This result generalizes the classical Szpilrajn theorem on extension of a partial order to a perfect (linear) order.