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Papers by jacqueline boniface
Noesis, Dec 15, 2008
La critique du « point de vue syntaxique » 2 de Carnap Je rappellerai d'abord brièvement le conte... more La critique du « point de vue syntaxique » 2 de Carnap Je rappellerai d'abord brièvement le contenu des théorèmes dits de limitation que Gödel présenta comme thèse d'habilitation et publia en 1931. Le premier théorème énonce en substance que tout système formel assez puissant pour contenir Gödel : des théorèmes d'incomplétude à la théorie des concepts Noesis, 14 | 2008
The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae
The conquest of several mathematical areas by arithmetic, which we mentioned in the introduction,... more The conquest of several mathematical areas by arithmetic, which we mentioned in the introduction, was thus achieved through two rival ways, both stemming from Gauss’s work. The first one, followed by Weierstrass, Dedekind and Cantor, borrowed the conception of number from Gauss. This conception entailed a development of mathematics through the extension of this concept of number and the introduction of new numbers. At the close of the conquest, which was to lead, in particular, to the arithmetization of analysis, “the captive analysis captured its savage victor,”70 and arithmetic was reduced to a simple province of analysis. The second way, followed by Kronecker who rejected this annexation of arithmetic by analysis, borrowed other concepts and methods, also from Gauss. These concepts, more related to operations than to objects, had to avoid the extension of the concept of number and the proliferation of new numbers. Thus Kronecker proposed this deployment of operations as an alternative to the development of the mathematical subject matter through conceptual extension. These two approaches — conceptual extension (and the consequent widening of the domain of objects) or operative deployment — appear more generally as distinct paths to mathematical progress. These two ways, usually coming one after the other, are combined in Gauss’s work. Thus this work stops the pendular swing from the concept (or the object) to the operation and vice versa.
Joray Pierre Mieville Denis, 2008
Philosophiques, 2004
Le principe d'induction est lie a la definition des nombres entiers d'une facon a la fois... more Le principe d'induction est lie a la definition des nombres entiers d'une facon a la fois essentielle et sujette a controverse. Fonde-t-il ces nombres, ou bien trouve-t-il en eux son fondement ? Son statut lui-meme peut etre concu de diverses manieres. Est-il donne par l'experience, par l'intuition, par la logique, par convention ? Ces questions furent l'objet d'une âpre discussion, autour des annees 1905-1906, dans le cadre plus large d'un debat sur les fondements des mathematiques qui opposa Poincare aux logicistes (en particulier Russell et Couturat) et aux «axiomatistes» (en particulier Peano et Hilbert). Nous proposons dans cet article de faire le point sur les termes et les enjeux de cette discussion. Nous montrerons en outre qu'elle fut l'occasion d'une redefinition de l'analytique et, par suite, des frontieres de la logique.
Revue d'Histoire des Mathematiques
TEXTES & DOCUMENTS 'SUR LE CONCEPT DE NOMBRE EN MATHÉMATIQUE' COURS INÉDIT DE LEOPOLD KRONECKERÀ ... more TEXTES & DOCUMENTS 'SUR LE CONCEPT DE NOMBRE EN MATHÉMATIQUE' COURS INÉDIT DE LEOPOLD KRONECKERÀ BERLIN (1891) Retranscrit et commenté par Jacqueline BONIFACE et Norbert SCHAPPACHER (*) RÉSUMÉ.-Le texte que nous présentons est le dernier cours du mathématicien berlinois Leopold Kronecker (1823-1891). Ce cours, publié ici pour la première fois, nous donne des informations importantes sur la philosophie des mathématiques de Kronecker, en particulier sur sa conception du nombre. Il précise, en outre, la position que Kronecker occupa dans le mouvement d''arithmétisation' des mathématiques et permet de mieux comprendre comment, et pourquoi, il se situeà contre-courant de la tendance dominante (animée notamment par Weierstrass, Cantor et Dedekind). Kronecker définit le concept de nombre de façon purement mathématique et viseà intégrer l'algèbre et l'analyse dans une arithmétique telle qu' il l'entend. Certaines de ses positions apparaissent aujourd'hui comme des anticipations de principes constructivistes ou intuitionnistes du XX e siècle. ABSTRACT.-'ON THE CONCEPT OF NUMBER IN MATHEMATICS' : LEOPOLD KRONECKER'S 1891 BERLIN LECTURES.-The text published here is the last lecture course, on the notion of number in mathematics, taught by the Berlin mathematician Leopold Kronecker (1823-1891). These lectures, published here for the first time, give interesting insights into Kronecker's philosophy of mathematics and in particular into his concept of number. They clarify Kronecker's position within the movement of 'arithmetization' and allow, in particular, for a better understanding of why and how Kronecker opposed the dominant viewpoint within this movement (held by Weierstrass, Cantor, Dedekind, and others). Kronecker introduced whole numbers mathematically, and proposed to integrate all of algebra and analysis into arithmetic. Today certain positions held by Kronecker may be seen as anticipating constructivist or intuitionist principles of the twentieth century. (*) Texte reçu le 25 février 2002.
Philosophiques, 2004
Résumé Le principe d’induction est lié à la définition des nombres entiers d’une façon à la fois ... more Résumé Le principe d’induction est lié à la définition des nombres entiers d’une façon à la fois essentielle et sujette à controverse. Fonde-t-il ces nombres, ou bien trouve-t-il en eux son fondement ? Son statut lui-même peut être conçu de diverses manières. Est-il donné par l’expérience, par l’intuition, par la logique, par convention ? Ces questions furent l’objet d’une âpre discussion, autour des années 1905-1906, dans le cadre plus large d’un débat sur les fondements des mathématiques qui opposa Poincaré aux logicistes (en particulier Russell et Couturat) et aux « axiomatistes » (en particulier Peano et Hilbert). Nous proposons dans cet article de faire le point sur les termes et les enjeux de cette discussion. Nous montrerons en outre qu’elle fut l’occasion d’une redéfinition de l’analytique et, par suite, des frontières de la logique.
Philosophia Scientiae, 2005
On réduit habituellement les idées de Kronecker sur les fondements des mathématiques à quelque bo... more On réduit habituellement les idées de Kronecker sur les fondements des mathématiques à quelque boutade ou à quelques principes rétrogrades. Ces idées constituent pourtant une doctrine originale et cohérente, justifiée par des convictions épistémologiques. Cette doctrine apparaît dans un article intitulé 'Sur le concept de nombre', paru en 1887 dans le Journal de Crelle, et surtout dans le dernier cours professé par Kronecker à Berlin au semestre d'été 1891. Le but de cet article est d'en préciser les principes et les éléments en la comparant aux autres entreprises de fondement, afin d'en souligner l'originalité, et de montrer comment elle a déterminé la pratique mathématique de Kronecker.
HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe), May 12, 2010
Comment la position philosophique d'un mathématicien peut-elle imprégner sa pratique mathématique... more Comment la position philosophique d'un mathématicien peut-elle imprégner sa pratique mathématique et la manière dont il façonne les concepts qu'il introduit ? L'article aborde cette question, en décrivant les choix du mathématicien berlinois Léopold Kronecker. http://images.math.cnrs.fr/Position-philosophique-et-pratique.html article « Les mathématiques : une science sans histoire », à paraître cette année dans la revue Noesis.
La Fondation Maison des sciences de l’homme a toujours ete convaincue que l’internationalisation ... more La Fondation Maison des sciences de l’homme a toujours ete convaincue que l’internationalisation des sciences sociales est une condition necessaire a leur pertinence, tant du point de vue des methodes et des concepts que de celui des contenus et des perspectives de recherche. Le Programme international d’etudes avancees se distingue de la politique suivie par la plupart des Instituts d’etudes avancees existant aujourd’hui, en ce qu’il ne repose pas sur des invitations individuelles pouvant aller jusqu’a une pleine annee academique. Il offre au contraire des invitations de moyenne duree a des groupes travaillant sur un projet commun. Les groupes selectionnes sont invites a developper les relations qu’ils peuvent avoir avec des chercheurs bases en France, et que leur projet interesse. Ils sont egalement en mesure de nouer des liens privilegies avec les invites de notre partenaire, le Columbia University Institute for Scholars at Reid Hall. Nous vous presentons ici le colloque Fondemen...
Oxford Handbooks Online
This article examines Ernst Kummer’s creation of ideal factors, which provides an interesting exa... more This article examines Ernst Kummer’s creation of ideal factors, which provides an interesting example of generalization within the set of complex numbers. Kummer developed a theory of ideal numbers in order to generalize arithmetical properties of natural numbers by extending these properties to certain complex numbers. His goal was to make complex numbers analogous to natural ones. This article first considers Kummer’s use of several analogies, primarily with arithmetic and chemistry, to come up with ideal factors of complex numbers. It then situates Kummer’s investigations on complex numbers with respect to Carl Friedrich Gauss’s work and compares his theory of ideal factors with Richard Dedekind’s ideals theory. It shows that Kummer’s method of generalization is premised on the distinction he articulated between ‘permanent’ and ‘accidental’ properties of complex numbers. This distinction draws from Kummer’s conception of mathematics, which was essentially different from those esp...
Noesis, Dec 15, 2008
La critique du « point de vue syntaxique » 2 de Carnap Je rappellerai d'abord brièvement le conte... more La critique du « point de vue syntaxique » 2 de Carnap Je rappellerai d'abord brièvement le contenu des théorèmes dits de limitation que Gödel présenta comme thèse d'habilitation et publia en 1931. Le premier théorème énonce en substance que tout système formel assez puissant pour contenir Gödel : des théorèmes d'incomplétude à la théorie des concepts Noesis, 14 | 2008
The Shaping of Arithmetic after C. F. Gauss’s Disquisitiones Arithmeticae
The conquest of several mathematical areas by arithmetic, which we mentioned in the introduction,... more The conquest of several mathematical areas by arithmetic, which we mentioned in the introduction, was thus achieved through two rival ways, both stemming from Gauss’s work. The first one, followed by Weierstrass, Dedekind and Cantor, borrowed the conception of number from Gauss. This conception entailed a development of mathematics through the extension of this concept of number and the introduction of new numbers. At the close of the conquest, which was to lead, in particular, to the arithmetization of analysis, “the captive analysis captured its savage victor,”70 and arithmetic was reduced to a simple province of analysis. The second way, followed by Kronecker who rejected this annexation of arithmetic by analysis, borrowed other concepts and methods, also from Gauss. These concepts, more related to operations than to objects, had to avoid the extension of the concept of number and the proliferation of new numbers. Thus Kronecker proposed this deployment of operations as an alternative to the development of the mathematical subject matter through conceptual extension. These two approaches — conceptual extension (and the consequent widening of the domain of objects) or operative deployment — appear more generally as distinct paths to mathematical progress. These two ways, usually coming one after the other, are combined in Gauss’s work. Thus this work stops the pendular swing from the concept (or the object) to the operation and vice versa.
Joray Pierre Mieville Denis, 2008
Philosophiques, 2004
Le principe d'induction est lie a la definition des nombres entiers d'une facon a la fois... more Le principe d'induction est lie a la definition des nombres entiers d'une facon a la fois essentielle et sujette a controverse. Fonde-t-il ces nombres, ou bien trouve-t-il en eux son fondement ? Son statut lui-meme peut etre concu de diverses manieres. Est-il donne par l'experience, par l'intuition, par la logique, par convention ? Ces questions furent l'objet d'une âpre discussion, autour des annees 1905-1906, dans le cadre plus large d'un debat sur les fondements des mathematiques qui opposa Poincare aux logicistes (en particulier Russell et Couturat) et aux «axiomatistes» (en particulier Peano et Hilbert). Nous proposons dans cet article de faire le point sur les termes et les enjeux de cette discussion. Nous montrerons en outre qu'elle fut l'occasion d'une redefinition de l'analytique et, par suite, des frontieres de la logique.
Revue d'Histoire des Mathematiques
TEXTES & DOCUMENTS 'SUR LE CONCEPT DE NOMBRE EN MATHÉMATIQUE' COURS INÉDIT DE LEOPOLD KRONECKERÀ ... more TEXTES & DOCUMENTS 'SUR LE CONCEPT DE NOMBRE EN MATHÉMATIQUE' COURS INÉDIT DE LEOPOLD KRONECKERÀ BERLIN (1891) Retranscrit et commenté par Jacqueline BONIFACE et Norbert SCHAPPACHER (*) RÉSUMÉ.-Le texte que nous présentons est le dernier cours du mathématicien berlinois Leopold Kronecker (1823-1891). Ce cours, publié ici pour la première fois, nous donne des informations importantes sur la philosophie des mathématiques de Kronecker, en particulier sur sa conception du nombre. Il précise, en outre, la position que Kronecker occupa dans le mouvement d''arithmétisation' des mathématiques et permet de mieux comprendre comment, et pourquoi, il se situeà contre-courant de la tendance dominante (animée notamment par Weierstrass, Cantor et Dedekind). Kronecker définit le concept de nombre de façon purement mathématique et viseà intégrer l'algèbre et l'analyse dans une arithmétique telle qu' il l'entend. Certaines de ses positions apparaissent aujourd'hui comme des anticipations de principes constructivistes ou intuitionnistes du XX e siècle. ABSTRACT.-'ON THE CONCEPT OF NUMBER IN MATHEMATICS' : LEOPOLD KRONECKER'S 1891 BERLIN LECTURES.-The text published here is the last lecture course, on the notion of number in mathematics, taught by the Berlin mathematician Leopold Kronecker (1823-1891). These lectures, published here for the first time, give interesting insights into Kronecker's philosophy of mathematics and in particular into his concept of number. They clarify Kronecker's position within the movement of 'arithmetization' and allow, in particular, for a better understanding of why and how Kronecker opposed the dominant viewpoint within this movement (held by Weierstrass, Cantor, Dedekind, and others). Kronecker introduced whole numbers mathematically, and proposed to integrate all of algebra and analysis into arithmetic. Today certain positions held by Kronecker may be seen as anticipating constructivist or intuitionist principles of the twentieth century. (*) Texte reçu le 25 février 2002.
Philosophiques, 2004
Résumé Le principe d’induction est lié à la définition des nombres entiers d’une façon à la fois ... more Résumé Le principe d’induction est lié à la définition des nombres entiers d’une façon à la fois essentielle et sujette à controverse. Fonde-t-il ces nombres, ou bien trouve-t-il en eux son fondement ? Son statut lui-même peut être conçu de diverses manières. Est-il donné par l’expérience, par l’intuition, par la logique, par convention ? Ces questions furent l’objet d’une âpre discussion, autour des années 1905-1906, dans le cadre plus large d’un débat sur les fondements des mathématiques qui opposa Poincaré aux logicistes (en particulier Russell et Couturat) et aux « axiomatistes » (en particulier Peano et Hilbert). Nous proposons dans cet article de faire le point sur les termes et les enjeux de cette discussion. Nous montrerons en outre qu’elle fut l’occasion d’une redéfinition de l’analytique et, par suite, des frontières de la logique.
Philosophia Scientiae, 2005
On réduit habituellement les idées de Kronecker sur les fondements des mathématiques à quelque bo... more On réduit habituellement les idées de Kronecker sur les fondements des mathématiques à quelque boutade ou à quelques principes rétrogrades. Ces idées constituent pourtant une doctrine originale et cohérente, justifiée par des convictions épistémologiques. Cette doctrine apparaît dans un article intitulé 'Sur le concept de nombre', paru en 1887 dans le Journal de Crelle, et surtout dans le dernier cours professé par Kronecker à Berlin au semestre d'été 1891. Le but de cet article est d'en préciser les principes et les éléments en la comparant aux autres entreprises de fondement, afin d'en souligner l'originalité, et de montrer comment elle a déterminé la pratique mathématique de Kronecker.
HAL (Le Centre pour la Communication Scientifique Directe), May 12, 2010
Comment la position philosophique d'un mathématicien peut-elle imprégner sa pratique mathématique... more Comment la position philosophique d'un mathématicien peut-elle imprégner sa pratique mathématique et la manière dont il façonne les concepts qu'il introduit ? L'article aborde cette question, en décrivant les choix du mathématicien berlinois Léopold Kronecker. http://images.math.cnrs.fr/Position-philosophique-et-pratique.html article « Les mathématiques : une science sans histoire », à paraître cette année dans la revue Noesis.
La Fondation Maison des sciences de l’homme a toujours ete convaincue que l’internationalisation ... more La Fondation Maison des sciences de l’homme a toujours ete convaincue que l’internationalisation des sciences sociales est une condition necessaire a leur pertinence, tant du point de vue des methodes et des concepts que de celui des contenus et des perspectives de recherche. Le Programme international d’etudes avancees se distingue de la politique suivie par la plupart des Instituts d’etudes avancees existant aujourd’hui, en ce qu’il ne repose pas sur des invitations individuelles pouvant aller jusqu’a une pleine annee academique. Il offre au contraire des invitations de moyenne duree a des groupes travaillant sur un projet commun. Les groupes selectionnes sont invites a developper les relations qu’ils peuvent avoir avec des chercheurs bases en France, et que leur projet interesse. Ils sont egalement en mesure de nouer des liens privilegies avec les invites de notre partenaire, le Columbia University Institute for Scholars at Reid Hall. Nous vous presentons ici le colloque Fondemen...
Oxford Handbooks Online
This article examines Ernst Kummer’s creation of ideal factors, which provides an interesting exa... more This article examines Ernst Kummer’s creation of ideal factors, which provides an interesting example of generalization within the set of complex numbers. Kummer developed a theory of ideal numbers in order to generalize arithmetical properties of natural numbers by extending these properties to certain complex numbers. His goal was to make complex numbers analogous to natural ones. This article first considers Kummer’s use of several analogies, primarily with arithmetic and chemistry, to come up with ideal factors of complex numbers. It then situates Kummer’s investigations on complex numbers with respect to Carl Friedrich Gauss’s work and compares his theory of ideal factors with Richard Dedekind’s ideals theory. It shows that Kummer’s method of generalization is premised on the distinction he articulated between ‘permanent’ and ‘accidental’ properties of complex numbers. This distinction draws from Kummer’s conception of mathematics, which was essentially different from those esp...