La définition dans les axiomatiques euclidienne et hilbertienne (original) (raw)
Related papers
Dans une conférence de presse tenue à Rome le 29 octobre 1974 au Centre culturel Français, à l'occasion d'un Congrès, Lacan est interrogé par les journalistes italiens à propos de la religion et de la psychanalyse. La religion pour lui est increvable car à tous les bouleversements qu'introduit la science, les fidèles donnent un sens à tout, ils sont formés pour ça. Ils vont trouver un sens à la vie humaine, un sens aux questions posées par le changement que la science introduit dans la famille et dans la reproduction artificielle. La religion trouvera des correspondances de tout avec tout, telle est sa fonction. La psychanalyse est un symptôme dans la civilisation car elle est ce qu'il y a de plus réel, elle fait partie de ce malaise dont Freud a parlé 1. Dans l'expérience d'une analyse, il y a des restes, des résidus, puisque le symbolique n'arrive pas à symboliser tout ce qui concerne la jouissance. La problématique du symptôme vient au premier plan dans le passage du symbolique au réel. Alors, la question à poser est comment produire un passage du symbolique au réel ? Il y a dans l'enseignement de Lacan deux axiomatiques pour aborder l'inconscient : La première est fondée sur le langage et la structure de la communication et la deuxième sur la lalangue, le signifiant tout seul et le réel hors-sens. Je veux me référer au séminaire de Jacques-Alain Miller, Ce qui fait Insigne 2 , pour rendre visible cette approche de l'Inconscient réel qui ne passe pas par l'Autre et qui implique une nouvelle conception du symptôme et de la clinique avec les dimensions, du Symbolique, de l'Imaginaire et du Réel élaborées à partir d'une logique des noeuds et des cordes. Lacan laisse tomber le concept de structure en faveur d'une topologie et d'une clinique, de plus et de moins, quant à la jouissance. Dans la première axiomatique l'exemple princeps est le Graphe du désir. Le premier étage est celui de l'énoncé, le deuxième est celui de l'énonciation.
La portée épistémique de l’axiomatisation de la physique chez Hilbert
2013
L'objectif du présent texte est de discuter de la portée épistémique de la méthode axiomatique. Tout d'abord, il sera question du contexte à partir duquel la méthode axiomatique a émergé, ce qui sera suivi d'une discussion des motivations du programme de Hilbert et de ses objectifs. Ensuite, nous exposerons la méthode axiomatique dans un cadre plus moderne afin de mettre en lumière son utilité et sa portée théorique. Finalement, il s'agira d'explorer l'influence de la méthode axiomatique en physique, surtout en ce qui a trait à l'application de la méthode par Hilbert. Nous discuterons de ses objectifs et de l'épistémologie qui accompagnait sa vision du 6e problème, ce qui nous amènera à discuter des limites épistémiques de la méthode axiomatique et de l'entreprise scientifique en général.
La D�finition V. 8 des El�ments d'Euclide
Centaurus, 1996
Les Définitions qui ouvrent le Livre V des Eléments d'Euclide -certaines d'entre elles du moins -ont suscité une abondante littérature et ce dès l'époque médiévale, au moins; c'est par exemple le cas des Définitions V. 3, 4, 5, 7 2 . Je me propose ici un objet plus modeste, à savoir l'examen de trois lignes de textes, soit une vingtaine de mots que l'on peut repérer comme suit : * Df. V. 8 : « ∆Analogiv a de; ej n trisi; n o{ roi" ej laciv sth ej stiv n » 3 . * Df. V. 3 bis : « ∆Analogiv a de; hJ twǹ lov gwn tautov th~ » 4 . * Df. V. 7 bis : « ∆Analogiv a de; ej stin hJ twǹ lov gwn oJ moiov th~ » 5 . Dans la mesure où les deux derniers énoncés sont unanimement reconnus comme des interpolations, dans la mesure aussi où l'authenticité de la Définition V. 8 est fortement questionnée, on peut se demander s'il y a un intérêt quelconque à les prendre en considération. Dans les débats historiographiques récents concernant le Livre V -en particulier la nature et le statut des objets fondamentaux dudit Livre 6 -la Définition V. 8 joue un rôle assez faible. Seul Jean-Louis Gardies lui fait jouer un rôle particulier, considérant qu'elle exclut la réflexivité de l'identité des rapports (autrement dit des proportions du type A : B :: A : B, voire A : A :: A : A), exclusion qui ruine l'idée que l'"objet rapport", construit comme classe d'équivalence, se trouve dans le Livre V des Eléments [Gardies, 1988, p. 76, 83].
Etude des variétés hilbertiennes et application à la mécanique quantique
2016
Bibliographie 81 1. Ce paragraphe est basé sur [17]. 2. Ce paragraphe est basé sur [11]. une contribution entièrement personnelle. Les idées et notions qui y sont exposées sont, à notre connaissance, entièrement originales. Concernant les Chapitres 2 et 3, le travail est en partie bibliographique car les concepts qui y sont présentés ne sont pas neufs. Mais notre contribution se situe, en plus du fait d'avoir réalisé une présentation synthétique de ces notions, dans le développement d'exemples et la démonstration de nombreux résultats. Toutes les démonstrations de ce mémoire ont été réalisées par l'auteur, sauf mention explicite du contraire. 1.1.1 Variétés et applications entre variétés Nous commençons par définir une variété différentiable de dimension n. Définition 1.1.1. M est une variété différentiable de dimension n si (1) M est un espace topologique séparé ; (2) M possède un atlas différentiable. Un atlas différentiable de M est une famille de cartes locales (u α , M α) α∈A (A est un index quelconque), telles que-(M α) α∈A est un recouvrement d'ouverts de M. 5 Chapitre 1. Rappels 6-pour tout α ∈ A, u α : M α → U α ⊂ R n , où U α := u α (M α) est un ouvert, est un homéomorphisme. Les u α sont appelées fonctions de coordonnées.-si M αβ := M α ∩ M β , U αβ := u α (M αβ) et U βα := u β (M αβ), alors u β • u −1 α : U αβ → U βα est C ∞. Nous attirons l'attention sur le fait que, pour tout n ∈ N 0 , R n est une variété différentiable. En effet, l'unique carte (R n , Id), où Id : R n → R n est l'identité, constitue un atlas différentiable de R n. Il s'agit de la variété triviale de dimension n. Nous enchainons avec le calculus sur les variétés différentiables. Définition 1.1.2. Soient M une variété de dimension m et N une variété de dimension n. Alors f : M → N est une application différentiable si, pour toute carte (U, φ) de M et (V, ψ) de N (tel que f (U) ⊂ V), l'application ψ • f • φ −1 : φ(U) → ψ(V), soit la représentation en coordonnées de f dans ces cartes, est C ∞. Un premier cas particulier de cette définition est le difféomorphisme. Définition 1.1.3. Soit f : M → N un homéomorphisme. Si ψ • f • φ −1 est inversible et si ψ • f • φ −1 ainsi que son inverse sont C ∞ , alors f est un difféomorphisme. Dans ce cas, N est dit difféomorphe à M. Une conséquence de cette définition est que deux variétés difféomorphes ont la même dimension. Un deuxième cas particulier d'application entre variétés est le champ scalaire. Définition 1.1.4. Soit M une variété de dimension n. Alors f : M → R est appelée un champ scalaire si f est une application différentiable. Nous notons l'ensemble des champs scalaires sur M par F(M). Un troisième cas particulier est la courbe. Définition 1.1.5. S'il existe a, b ∈ R tels que a < 0 < b et si c :]a, b[→ M est une application différentiable, alors c est appelée une courbe ouverte dans M. La représentation en coordonnées de la courbe c dans la carte (U, φ), C = φ • c, est appelée une représentation paramétrique de c. 1. Deux courbes vérifient la relation d'équivalence si le vecteur tangent le long de la première courbe est égal au vecteur tangent le long de la seconde courbe.
Les notions communes chez Euclide et Spinoza
Revue Philonsorbonne, 2022
Cet article a pour objet d’établir en quel sens l’héritage des notions communes euclidiennes a pu informer l’élaboration progressive des notions communes dans l’œuvre de Spinoza, notamment dans les Principes de la philosophie de Descartes et l’Éthique, sans occulter les modifications qu’il fait subir au concept. Cette analyse vise également à réévaluer la portée universelle des notions communes en explorant la source euclidienne du concept. Elle doit permettre de mieux apprécier ce qui distingue la connaissance du deuxième genre des Transcendantaux et « notions qu’on appelle universelles », d’une part, et de la connaissance du troisième genre, d’autre part.
2006
Introduction L'un des derniers épigones d'Euclide, Nicolas Bourbaki, écrit, au début de ses Éléments d'histoire des mathématiques: « L'originalité essentielle des Grecs consiste précisément en un effort conscient pour ranger les démonstrations mathématiques en une succession telle que le passage d'un chaînon au suivant ne laisse aucune place au doute et contraigne l'assentiment universel … Mais, dès les premiers textes détaillés qui nous soient connus (et qui datent du milieu du V e siècle), le « canon » idéal d'un texte mathématique est bien fixé. Il trouvera sa réalisation la plus achevée chez les grands classiques, Euclide, Archimède, Apollonius; la notion de démonstration, chez ces auteurs, ne diffère en rien de la nôtre ». 1 J'ignore ce qui est visé par le dernier possessif, s'il s'agit d'un pluriel de majesté qui désigne l'"Auteur", ou s'il faut comprendre l'assertion dans un sens plus général : « la nôtre » signifierait « celle des Modernes (?), des mathématiciens du XX e siècle (?) français (?) ou formalistes (?) … ». Taquinerie mise à part, l'affirmation suppose une conception bien circonscrite et universellement reçue de ce qui constitue une preuve mathématique. Ladite conception est à la fois logique -la citation se trouve dans le chapitre intitulé « Fondements des mathématiques, Logique, Théorie des ensembles » -, psychologique (rejet du doute) et "sociologique" (consensus universel). Peut-être faut-il n'y voir qu'un lointain écho de l'affirmation aristotélicienne selon laquelle les assertions scientifiques (et pas seulement mathématiques) sont nécessaires et universelles. L'énumération des géomètres grecs qui suit est également intéressante : il s'agit de classiques et le triptyque entend probablement suivre l'ordre chronologique. Ici "Euclide" désigne donc le géomètre hellénistique du III e siècle avant notre ère, l'auteur des Éléments, et non simplement une étiquette commode, parfois utilisée pour désigner une ou plusieurs des très nombreuses adaptations de son célèbre ouvrage, comme lorsqu'on parle de l'Euclide de Campanus (vers 1260-70), de l'Euclide arabe ou de l'Euclide du XVI e siècle. Parler de l'Euclide hellénistique, décrire d'une manière assez précise le contenu de son ouvrage -ce qu'implique certainement le fait de le qualifier de "classique" -, adopter ou rejeter son approche démonstrative suppose d'avoir une connaissance raisonnablement assurée du texte des Éléments. C'est précisément ce dont on peut douter. Dans une première partie, je rappelle quelques informations ou hypothèses concernant la transmission des textes grecs anciens, en particulier celle des Éléments. J'y souligne le caractère 1 Bourbaki, 1974: 10. 2 médiat de notre connaissance à son sujet et je résume l'histoire du texte telle qu'elle a été proposée par le philologue danois J. L. Heiberg, au moment où il réalisait, dans les années 1880, l'édition critique du texte grec 2 à laquelle la plupart des études actuelles sur Euclide se réfèrent encore. J'en relève les incertitudes et mentionne la critique récente dont elle a été l'objet de la part de W. Knorr. 3 Dans la seconde partie, je donne des exemples de divergences entre versions conservées illustrant les incertitudes qui oblitèrent notre connaissance du texte euclidien, notamment celui de certaines preuves. I. Réflexions sur l'histoire du texte des Éléments 1. Sommaire histoire des textes grecs anciens 4 Admettons -pour ne pas trop compliquer la présente étude -qu'il ait existé une édition (e[ kdosi") hellénistique des Éléments (ta; stoiceià), en 13 Livres, correspondant, au moins dans les grandes lignes, à ce qui est parvenu jusqu'à nous, réalisée par Euclide ou l'un de ses proches disciples. 5 Dans l'Antiquité grecque, alors qu'il n'existe ni imprimerie, ni quelque forme que ce soit de copyright, "édition" signifie « mise en circulation d'un texte dans un cercle de lecteurs plus large que celui de l'École, des familiers ou des disciples de l'auteur », autrement dit une "publication" au sens minimal de « rendre public », en reproduisant, en un certain nombre d'exemplaires, un manuscrit révisé et corrigé par l'auteur (ou un collaborateur 6 ). Les livres de l'époque hellénistique (III e -I er siècle avant notre ère) sont des rouleaux de papyrus écrits en majuscules, en principe sur une seule face, de taille relativement standardisée et modeste, donc 2 Heiberg, Menge, 1883-1916. Elle a été en partie rééditée et (paraît-il) révisée par E. S. Stamatis : Heiberg, Stamatis, 1969-1977. Dans ce qui suit, je désignerai ces éditions à l'aide des abréviations EHM et EHS respectivement. 3 Knorr, 1996. 4 La littérature sur ce sujet est immense. J'ai consulté Pasquali, 1952, Dain, 1975, Reynolds, Wilson, 1988, Dorandi, 2000 (qui contient beaucoup d'informations sur les papyri) et Irigoin, 2003 (recueil d'articles publiés entre 1954 et 2001, plus quelques inédits). 5 Deux autres possibilités (au moins) sont envisageables, par analogie avec les quelques cas connus d'éditions antiques savantes : • Euclide aurait produit deux versions de son texte : l'une, préliminaire, pour un cercle restreint de disciples, de correspondants ou d'amis, l'autre, révisée et autorisée. On reconnaît là la genèse des Coniques d'Apollonius telle qu'elle est décrite par l'auteur lui-même dans la préface du Livre I (de sa version révisée).