Riemanns zetafunktion (original) (raw)

Riemanns zetafunktion betegner funktionen \[\zeta(z) = \sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^z},\]

Faktaboks

defineret for tal \(z>1\) eller mere almindeligt for komplekse tal \(z=x+iy\) med realdel \(x>1\). Studiet af funktionen går tilbage til L. Euler, der viste produktfremstillingen \[\frac{1}{\zeta(z)} = \left(1-\frac{1}{2^z}\right)\left(1-\frac{1}{3^z}\right)\left(1-\frac{1}{5^z}\right)\dots,\] hvor der optræder en faktor for hvert primtal. Funktionen er et vigtigt hjælpemiddel i teorien for fordelingen af primtal, og Euler benyttede den til at vise, at summen af de reciprokke primtal er uendelig. Euler fandt også zetafunktionens værdier i de lige tal, fx \(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}, \ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}\); i den almene formel indgår Bernoulli-tallene.

Riemann beviste i en berømt afhandling fra 1859, at zetafunktionen kan fortsættes analytisk til en meromorf funktion i hele den komplekse plan med en simpel pol i \(z=1\). Riemanns formodning fra samme afhandling går ud på, at nulpunkterne \(z=x+iy\) for zetafunktionen i den højre halvplan \(x\geq 0\) alle ligger på linjen \(x = \frac{1}{2}\). Efter Riemanns død har bidrag fra en række matematikere gjort formodningen overordentlig sandsynlig, og den betragtes som matematikkens berømteste uløste problem, efter at Fermats store sætning er bevist.