mængdetopologi (original) (raw)
Til venstre illustreres grundbegreberne i mængdetopologi for en delmængde \(A\) i planen:
- \(P_1\) er et indre punkt i \(A\), idet der findes en cirkelskive omkring \(P_1\) helt indeholdt i \(A\).
- \(P_2\) og \(P_3\) er randpunkter for \(A\), idet enhver cirkelskive omkring et af punkterne både indeholder punkter fra \(A\) og ikke fra \(A\); \(P_2\) tilhører \(A\), mens \(P_3\) ikke tilhører \(A\).
- \(P_4\) er et ydre punkt for \(A\), idet der findes en cirkelskive omkring \(P_4\) helt bestående af punkter, der ikke tilhører \(A\).
Begreberne finder anvendelse helt generelt, fx som vist til højre for delmængder af kuglefladen:
- \(B\) er en åben mængde i kuglefladen, idet den ikke indeholder sin rand; \(B\) består af lutter indre punkter.
- \(C\) er en afsluttet mængde i kuglefladen, idet den indeholder alle sine randpunkter.
Mængdetopologi er en matematisk disciplin, som omhandler den indbyrdes beliggenhed af punkter i abstrakte rum. Mængdetopologien udgør det geometriske grundlag for den matematiske analyse og udvikles i vore dage mest i tilknytning til funktionalanalyse.
Mængdetopologi i talrummene
De første fundamentale begreber i mængdetopologien blev udviklet i talrummene \(\mathbb{R}^n\) i forbindelse med den præcisering af begreberne konvergens af talfølger og kontinuitet af funktioner, som fandt sted i 1800-tallet i arbejder af bl.a. Bernhard Bolzano, Augustin Louis Cauchy, Karl Weierstrass, den tyske matematiker Heinrich Eduard Heine (1821-1881) og Émile Borel.
Aksiomatiske indførelser af de reelle tal fra ca. 1870 af bl.a. Georg Cantor, Richard Dedekind og Weierstrass var et væsentligt led i udviklingen af mængdetopologien, ligesom Cantors arbejder om mængdebegrebet (1874 og frem) om ordinaltal og transfinitte kardinaltal (definitive fremstillinger 1895 og 1897) bør nævnes.
Grundbegreber i mængdetopologien
Centrale begreber som indre, ydre og rand for en mængde, åbne mængder, afsluttede mængder, begrænsede mængder og sammenhængende mængder blev indført i arbejder af Cantor og Camille Jordan. De mængder i talrummene, som samtidig er afsluttede og begrænsede, kan karakteriseres ved en overdækningsegenskab, nemlig at der i en vilkårlig overdækning med åbne delmængder altid findes endeligt mange, som overdækker. Dette vigtige resultat kaldes Heine-Borel-Lebesgues sætning. Med en terminologi foreslået af Maurice Fréchet kaldes mængder med denne overdækningsegenskab for kompakte mængder. Begreber karakteriseret ved overdækningsegenskaber har vist sig særdeles frugtbare i mængdetopologiens udvikling.
I 1906 påpegede Fréchet, at begreber som konvergens og kontinuitet kan indføres i mange andre typer rum end talrummene, ikke mindst i metriske rum. Sådanne rum optræder naturligt i forbindelser, hvor funktioner opfattes som punkter i et funktionsrum.
Topologiske rum
For at beskrive den indbyrdes beliggenhed af punkter i et rum kan man klare sig uden metriske størrelser og blot nøjes med et omegnsbegreb i rummet. Dette blev udviklet af Felix Hausdorff i Grundzüge der Mengenlehre (1914). En ækvivalent teori for topologiske rum, baseret på en afslutningsoperation for mængder i rummet, blev grundlagt af den polske matematiker Kazimierz Kuratowski (1896-1980) i 1922 og videreudviklet af den polske matematiker Wacław Sierpiński (1882-1969) i 1927.
Man kan i stedet benytte et aksiomsystem for åbne mængder foreslået i 1923 af den østrigske matematiker Heinrich Tietze (1880-1964), og et topologisk rum, \(S\), defineres i dag oftest som en grundmængde \(S\) udstyret med et system af delmængder, der kaldes de åbne mængder. Systemet skal opfylde tre krav:
- En vilkårlig foreningsmængde af åbne delmængder er selv åben.
- En vilkårlig fællesmængde af et endeligt antal åbne delmængder er selv åben.
- Hele mængden \(S\) og den tomme mængde \(Ø\) er åbne delmængder i \(S\).
Med udgangspunkt i disse aksiomer kan mængdetopologien udvikles.