metrisk rum (original) (raw)
Metrisk rum er en meget generel matematisk struktur, der består af en mængde udstyret med en metrik (et afstandsmål). Begrebet metrik har udspring i den matematiske analyse og studeres i mængdetopologi, men indgår nu i næsten alle matematiske discipliner.
Definition af metrisk rum
På en grundmængde \(S\) er en metrik en funktion, som til ethvert par af elementer \(x\) og \(y\) i \(S\) knytter et ikke-negativt tal \(d(x,y)\), der benævnes afstanden fra \(x\) til \(y\), så følgende krav er opfyldt:
- \(d(x,y)=0\) netop når \(x=y\);
- \(d(x,y)=d(y,x)\);
- \(d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y)\) for alle \(z\) i \(S\).
Disse simple krav fastlægger på forbløffende vis en slagkraftig teori for metriske rum. De grundlæggende definitioner skyldes M. Fréchet i 1906.
Uligheden i krav 3 til en metrik \[d(x, y) \leq d(x, z)+d(z, y) \quad \text{for alle} \quad x,y,z \in S\] er kendt som trekantsuligheden i metriske rum.
Den diskrete metrik på en mængde
På enhver mængde \(S\) kan man definere en metrik ved at sætte
\[ d(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{for xneyx\ne yxney}\\ 0 & \mbox{for x=yx = yx=y.} \end{array} \right. \]
Denne metrik kaldes den diskrete metrik på \(S\).
Den diskrete metrik virker måske sær, men den er vigtig, fordi den kan lægges på enhver mængde uden yderligere struktur. Den giver et ekstremt eksempel på en topologi, hvor alle punkter er isolerede, og fungerer derfor som en god ramme til at afprøve begreber som kontinuitet og konvergens i den matematiske analyse.
Den euklidiske metrik i de reelle talrum
Det \(n\)-dimensionale reelle talrum \(\mathbb{R}^n\), som består af alle ordnede talsæt af \(n\) reelle tal \(\boldsymbol{x}=(x_1, x_2, \dots, x_n)\), kan udstyres med den euklidiske metrik
\[d(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=\sqrt{\sum_{i=1}^n{(x_i-y_i)^2}} .\]
For \(n=2, 3\) kan \(\mathbb{R}^n\) med denne metrik identificeres med henholdsvis den euklidiske plan og det euklidiske rum udstyret med et sædvanligt retvinklet koordinatsystem.
Den euklidiske metrik er den metrik vi umiddelbart forbinder med et afstandsmål. Den er vigtig, og det er den underliggende metrik på de reelle talrum ved opbygning af matematiske modeller, der involverer afbildninger \(f: A \to \mathbb{R}^m\) fra delmængder \(A \subseteq \mathbb{R}^n\) ind i \(\mathbb{R}^m\).