Weihnachtssterne (original) (raw)
Reguläre Polytope
Bilder zu meiner Antrittsvorlesung am 18. 12 .2002
Die folgende Tabelle gibt einige wichtige Daten zu den 3- und 4-dimensionalen regulären Polytopen, unter anderem die Schläfli-Symbole, die Anzahlen von Ecken, Kanten, Flächen etc., und die Symmetriegruppen, dargestellt als Spiegelungsgruppen. Außerdem sind alle 3- und 4-dimensionalen regulären Sternpolytope (Kepler-Poinsot-Polytope und Schläfli-Hess-Polytope) aufgelistet. Die unten aufgeführten "Invarianten" sind im einzelnen die Dichte D, d.h., der Abbildungsgrad der Projektion auf die Einheitssphäre, die Eulerzahl X, und in Dimension 3 das Geschlecht G der zweidimensionalen Polyederfläche. Die Symmetriegruppen der Sternpolytope sind I3 im dreidimensionalen und I4 im vierdimensionalen Fall. Diese Tabelle ließe sich beliebig ergänzen, beispielsweise um metrische Daten wie Diederwinkel und sphärische Volumina der einzelnen Flächen bzw. Zellen. Außerdem könnte man noch die je drei regulären Polytope in den Dimension 5, 6, etc. angeben. Mehr Informationen finden sich im Buch "Regular Polytopes" von H. S. M. Coxeter, sowie in seinem Artikel "Star polytopes and the Schläfli function_f_(α,β,γ)" in Elem. Math. 44 (1989), 25-36, und in den dort angeführten Referenzen.
Der kleine Stern {5/2,5} und der große Dodekaeder {5,5/2} lassen sich zu geschlossenen Flächen vom Geschlecht 4 glätten. Wenn {5/2,5} oder {5,5/2} als Zellen in einem Schläfli-Hess-Polytop auftaucht, ist nicht klar, wie man sie "ausfüllt", in jedem Fall ist die Invariante X hier nicht wirklich die Eulerzahl (man beachte, dass die Eulerzahl einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit wegen Poincaré-Dualität stets verschwindet). Wenn {5/2,5} oder {5,5/2} als Eckfiguren auftauchen, ist der entstehende Komplex nicht lokal homöomorph zu einem dreidimensionalen Ball, die entsprechenden Objekte sind also keine Mannigfaltigkeiten. Das betrifft insbesondere auch die beiden selbstdualen Polytope {5,5/2,5} und {5/2,5,5/2} mit Eulerzahl 0.
Anklicken der kleinen Bilder links in der Tabelle liefert für die meisten dreidimensionalen Objekte ältere Darstellungen der entsprechenden Objekte. Anklicken der vierdimensionalen Bilder liefert kleine Filme (animated-Gif-Format) die das Bild eines rotierenden vierdimensionalen Objekts unter Parallelprojektion in den dreidimensionalen Raum zeigen. Da hierbei nur Ecken, Kanten und Flächen, aber keine dreidimensionalen Zellen dargestellt werden können, sehen manchmal zwei verschiedene Polytope gleich aus; das passiert genau dann, wenn die Flächen vom gleichen Typ sind und die Eckfiguren die gleichen Kanten haben. Letzteres ist der Fall für {3,5} und {5,5/2} sowie für {3,5/2} und {5/2,5}.
Weitere Bilder und Links zu dreidimensionalen Polyedern finden sich unter anderem beiGeorg W. Hart; die historischen Bilder zu den Platonischen Körpern und den Kepler-Poinsot-Polyedern stammen von dieser Seite. Bilder zu vierdimensionalen Polytopen finden sich unter anderem bei Jonathan Browers undGeorge Olshevsky, mit eigenwilliger Nomenklatur ...
| Dreidimensionale Reguläre Konvexe Polytope (platonische Körper) | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Bild | Name,Schläfli-Symbol | Flächentyp | Eckfigur | Anzahlen | Symmetrie-Gruppe,Ordnung | DualerPolyeder | ||||
| E | K | F | ||||||||
| 3-SimplexTetraeder{3,3} | Dreieck{3} | Dreieck{3} | 4 | 6 | 4 | S4=A3 ∗−∗−∗24 | selbstdual | |||
| Würfel{4,3} | Viereck{3} | Dreieck{3} | 8 | 12 | 6 | BD3 ∗−∗=∗48 | Oktaeder{3,4} | |||
| Oktaeder{3,4} | Dreieck{3} | Viereck{3} | 6 | 12 | 8 | Würfel{4,3} | ||||
 |
Dodekaeder{5,3} | Fünfeck{5} | Dreieck{3} | 20 | 30 | 12 | I3 ∗−∗-5-∗120 | Ikosaeder{3,5} | ||
| |
Ikosaeder{3,5} | Dreieck{3} | Fünfeck{5} | 12 | 30 | 20 | Dodekaeder{5,3} | |||
| Dreidimensionale Sternpolyeder (Kepler-Poinsot-Körper) | ||||||||||
| Bild | Name,Schläfli-Symbol | Flächentyp | Eckfigur | Anzahlen | Invarianten | DualerPolyeder | ||||
| E | K | F | D | X | G | |||||
 |
KleinerStern{5/2,5} | Pentagramm{5/2} | Fünfeck{5} | 12 | 30 | 12 | 3 | -6 | 4 | GroßerDodekaeder{5,5/2} |
 |
GroßerDodekaeder{5,5/2} | Fünfeck{5} | Pentagramm{5/2} | 12 | 30 | 12 | 3 | -6 | 4 | KleinerStern{5/2,5} |
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GroßerStern{5/2,3} | Pentagramm{5/2} | Dreieck{3} | 20 | 30 | 12 | 7 | 2 | 0 | GroßerIkosaeder{3,5/2} |
 |
GroßerIkosaeder{3,5/2} | Dreieck{3} | Pentagramm{5/2} | 12 | 30 | 20 | 7 | 2 | 0 | GroßerStern{5/2,3} |
| Vierdimensionale Reguläre Konvexe Polytope | ||||||||||
| Bild | Name,Schläfli-Symbol | Zelltyp | Eckfigur | Anzahlen | Symmetrie-Gruppe,Ordnung | DualesPolytop | ||||
| E | K | F | Z | |||||||
| 4-Simplex{3,3,3} | Tetraeder{3,3} | Tetraeder{3,3} | 5 | 10 | 10 | 5 | S5=A4 ∗−∗−∗−∗120 | selbstdual | ||
 |
Hyperwürfel,Tesserakt{4,3,3} | Würfel{4,3} | Tetraeder{3,3} | 16 | 32 | 24 | 8 | BD4 ∗−∗−∗=∗384 | 16-Zell | |
 |
16-Zell{3,3,4} | Tetraeder{3,3} | Oktaeder{3,4} | 8 | 24 | 32 | 16 | Hyperwürfel | ||
 |
24-Zell{3,4,3} | Oktaeder{3,4} | Würfel{4,3} | 24 | 96 | 96 | 24 | F4 ∗−∗=∗−∗242=576 | selbstdual | |
 |
120-Zell{5,3,3} | Dodekaeder{5,3} | Tetraeder{3,3} | 600 | 1200 | 720 | 120 | I4 ∗−∗−∗-5-∗ 1202=14400 | 600-Zell | |
 |
600-Zell{3,3,5} | Tetraeder{3,3} | Ikosaeder{3,5} | 120 | 720 | 1200 | 600 | 120-Zell | ||
| Reguläre Sternpolytope (Schläfli-Hess-Polytope) | ||||||||||
| Bild | Schläfli-Symbol | Zelltyp | Eckfigur | Anzahlen | Invarianten | DualesPolytop | ||||
| E | K | F | Z | D | X | |||||
| |
{3,5,5/2} | Ikosaeder{3,5} | GroßerDodekaeder{5,5/2} | 120 | 720 | 1200 | 120 | 4 | 480 | {5/2,5,3} |
 |
{5/2,5,3} | KleinerStern{5/2,5} | Dodekaeder{5,3} | 120 | 1200 | 720 | 120 | 4 | -480 | {3,5,5/2} |
 |
{5,5/2,5} | GroßerDodekaeder{5,5/2} | KleinerStern{5/2,5} | 120 | 720 | 720 | 120 | 6 | 0 | selbstdual |
| {5,3,5/2} | Dodekaeder{5,3} | GroßerIkosaeder{3,5/2} | 120 | 720 | 720 | 120 | 20 | 0 | {5/2,3,5} | |
 |
{5/2,3,5} | GroßerStern{5/2,3} | Ikosaeder{3,5} | 120 | 720 | 720 | 120 | 20 | 0 | {5,3,5/2} |
| {5/2,5,5/2} | KleinerStern{5/2,5} | GroßerDodekaeder{5,5/2} | 120 | 720 | 720 | 120 | 66 | 0 | selbstdual | |
 |
{5,5/2,3} | GroßerDodekaeder{5,5/2} | GroßerStern{5/2,3} | 120 | 1200 | 720 | 120 | 76 | -480 | {3,5/2,5} |
 |
{3,5/2,5} | GroßerIkosaeder{3,5/2} | KleinerStern{5/2,5} | 120 | 720 | 1200 | 120 | 76 | 480 | {5,5/2,3} |
| {3,3,5/2} | Tetraeder{3,3} | GroßerIkosaeder{3,5/2} | 120 | 720 | 1200 | 600 | 191 | 0 | {5/2,3,3} | |
 |
{5/2,3,3} | GroßerStern{5/2,3} | Tetraeder{3,3} | 600 | 1200 | 720 | 120 | 191 | 0 | {3,3,5/2} |