Prolongement des solutions d'une équation aux dérivées partielles à coefficients constants (original) (raw)

Singularités de solutions d'équations aux dérivées partielles

Journal of Differential Equations, 1985

Nous developpons le cadre mathematique necessaire a l'etude des singularites des solutions locales des systemes d'EDP quasilineaires du premier ordre admettant une direction libre. Dans les bons cas, on peut dicrire les types de singularites rencontrees en fonction des conditions initiales libres satisfaites par les solutions. Utilisant les theoremes de transversalite, il devient ainsi possible de d&ire les singularites des solutions generiques et des familles genkiques de solutions sous deformation des conditions initiales. Comme application, des classifications sont presentees pour une classe importante de systemes quasilineaires hyperboliques du premier ordre dans le plan, celle des systemes reductibles, et pour une classe assez genirale dequations quasilineaires hyperboliques du deuxitme ordre dans le plan. ~1 1985 Academic Press, Inc. We develop the general mathematical setting necessary to study the singularities of local solutions of the quasi-linear first-order systems of PDEs with a free initial condition. In the good cases, it is possible to describe these singularities as a function of the free initial conditions satisfied by the solutions. Using the transversality theorems, it is then possible to describe the singularities of generic solutions, and of generic families of solutions under deformation of the initial conditions. We apply this study by giving classifications of an important classe of hyperbolic quasi-linear first-order systems in the plane, the reducible systems, and of an almost general class of hyperbolic quasi-linear second-order equations in the plane.

Séminaire Équations aux dérivées partielles – École Polytechnique

2008

© Séminaire Équations aux dérivées partielles (Polytechnique) (École Polytechnique), 1976-1977, tous droits réservés. L’accès aux archives du séminaire Équations aux dérivées partielles (http://sedp.cedram.org) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.

Problèmes aux limites pour les équations aux dérivées partielles du premier ordre à coefficients réels; théorèmes d'approximation; application à l'équation de transport

Annales scientifiques de l'École normale supérieure, 1970

Problèmes aux limites pour les équations aux dérivées partielles du premier ordre à coefficients réels ; théorèmes d'approximation ; application à l'équation de transport Annales scientifiques de l'É.N.S. 4 e série, tome 3, n o 2 (1970), p. 185-233 http://www.numdam.org/item?id=ASENS\_1970\_4\_3\_2\_185\_0 © Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1970, tous droits réservés. L'accès aux archives de la revue « Annales scientifiques de l'É.N.S. » (http://www. elsevier.com/locate/ansens) implique l'accord avec les conditions générales d'utilisation 186 C. BARDOS. Dans les deux cas les difficultés proviennent du fait que le champ A in peut dégénérer et en particulier du fait que la forme ^.a^ peut changer i=ï de signe sur à^î. Ces difficultés sont levées, d'une part du point de vue « caractéristiques » en utilisant le théorème de Sard {cf. de Rham [7]) pour montrer que les caractéristiques de A qui sont tangentes à àiî forment dans û un ensemble de mesure nulle; et, d'autre part, du point de vue « opérateurs symétriques du premier ordre » e.n montrant que si u est solution de (i) et appartient à L°° (û) il 'existe une suite Uo, telle que u?, |s__ == o, nulle dans un voisinage de la frontière de IL dans ^Û, telle que Ua converge vers u dans L 2 (û) tandis que Au § converge vers Au dans L^û) faible. Au chapitre 1 on rappelle des résultats sur les semi-groupes qui seront fréquemment utilisés dans la suite. Au chapitre II dans les paragraphes 1 et 2 on explicite le semi-groupe associé au problème (i) à l'aide des caractéristiques du champ A, on démontre que ce semi-groupe opère dans L^(û); ce qui permet de résoudre des problèmes non linéaires, puis on caractérise le générateur de ce semigroupe en utilisant le théorème de Sard. Au paragraphe 3 on se propose de rapprocher ce point de vue de celui des opérateurs symétriques, et on montre que le générateur du semigroupe opérant dans L^Q) introduit au paragraphe 1 n'est autre que la m fermeture de l'opérateur ^j^^~ défini sur l'espace des uçcV(ft) tels î==l que u ^__== o. Ceci permet au paragraphe 4 de traiter des problèmes non homogènes et de préciser des théorèmes de traces. Au paragraphe 5 on étudie les valeurs propres de l'opérateur ni u-> ^^-y-7 de domaine i =1 ! 1 m \ D(A,)= uç^W V^eL^)^^:=o .