Chapitre 7 Espaces vectoriels et applications lineaires Partie 1 1 (original) (raw)
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Espaces vectoriels et applications linéaires Exercice 1
On considère l'ensemble E des matrices carrées d'ordre 3 défini par ܧ ൌ ൝ܯሺܽ, ܾሻ ൌ ൭ ܽ ܾ ܾ ܾ ܽ ܾ ܾ ܾ ܽ ൱ , ܽ א Թ, ܾ א Թൡ 1) Montrer que ܧ est un sous-espace vectoriel de l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 3. Commentaires : La question est ici explicite. On doit donc démontrer que E est bien un sous-ensemble non vide de ࣧ ଷ ሺԹሻ, stable par combinaison linéaire. L'énoncé annonce que E est un ensemble de matrices carrées d'ordre 3 particulières. C'est donc bien un sous ensemble de ࣧ 3 (Թ). Il n'est pas vide de façon évidente puisqu'il suffit de choisir des valeurs particulières pour ܽ et ܾ et l'on a une matrice de E. En général on essaie de vérifier si le « zéro » de l'ensemble « complet » (donc ici la matrice nulle de ࣧ 3 (Թ)) est un élément du sous-ensemble. On peut également montrer que les matrices de E écrivent comme combinaison linéaire de matrices particulières de ࣧ ଷ ሺԹሻ. E sera alors le sous-espace vectoriel engendré par ces matrices. Nous ne montrerons ici que la première méthode. Voir plus loin la seconde. Par définition, l'ensemble E est composé de matrices carrées d'ordre 3, il est donc un sous ensemble de ࣧ3(Թ ). En prenant ܽ ൌ ܾ ൌ 0, on voit que ൭ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ൱ א E. Donc E n'est pas vide. Considérons ܯ ଵ et ܯ ଶ deux matrices de E et λ et μ deux nombres réels quelconques. Montrons qu'alors la matrice ܯߣ ଵ ܯߤ ଶ est un élément de E. Dire que ܯ ଵ est une matrice de E, c'est dire qu'il existe deux nombres réels ܽ ଵ et ܾ ଵ tels que
Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début) Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin) Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début) Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu) Vidéo partie 5. Sous-espace vectoriel (fin) Vidéo partie 6. Application linéaire (début) Vidéo partie 7. Application linéaire (milieu) Vidéo partie 8. Application linéaire (fin) Fiche d'exercices Espaces vectoriels Fiche d'exercices Applications linéaires La notion d'espace vectoriel est une structure fondamentale des mathématiques modernes. Il s'agit de dégager les propriétés communes que partagent des ensembles pourtant très différents. Par exemple, on peut additionner deux vecteurs du plan, et aussi multiplier un vecteur par un réel (pour l'agrandir ou le rétrécir). Mais on peut aussi additionner deux fonctions, ou multiplier une fonction par un réel. Même chose avec les polynômes, les matrices,... Le but est d'obtenir des théorèmes généraux qui s'appliqueront aussi bien aux vecteurs du plan, de l'espace, aux espaces de fonctions, aux polynômes, aux matrices,... La contrepartie de cette grande généralité de situations est que la notion d'espace vectoriel est difficile à appréhender et vous demandera une quantité conséquente de travail ! Il est bon d'avoir d'abord étudié le chapitre « L'espace vectoriel n ».
Cours de Mathématiques -ASINSA-1 Les espaces vectoriels
Document téléchargé à l'URL suivante : http://maths.insa-lyon.fr/\~sturm/ Pour plus de compléments, voir les deux ouvrages suivants parus aux Presses Polytechniques et Universitaires Romandes (PPUR) dans la collection METIS LyonTech : www.ppur.org Algèbre et analyse, 2e édition revue et augmentée, Cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés, S. Balac, F. Sturm, 1110 pages, paru en 2009. Exercices d'algèbre et d'analyse, 154 exercices corrigés de première année, S. Balac, F. Sturm, 448 pages, paru en 2011. Les espaces vectoriels Plan du cours 1 Structure d'espace vectoriel 2 Structure de sous-espace vectoriel 3 Indépendance linéaire et base algébrique 4 Espace de dimension finie 5 Rang d'une famille finie de vecteurs
Exercices corriges application lineaire et determinants(1)
Exercice 1. Soit í µí±¢: ℝ 3 → ℝ 2 défini pour tout í µí±¥ = (í µí±¥ 1 , í µí±¥ 2 , í µí±¥ 3) ∈ ℝ 3 par í µí±¢(í µí±¥) = (í µí±¥ 1 + í µí±¥ 2 + í µí±¥ 3 , 2í µí±¥ 1 + í µí±¥ 2 − í µí±¥ 3) 1. Montrer que í µí±¢ est linéaire. 2. Déterminer ker(í µí±¢). Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Soit í µí±: ℝ 3 → ℝ 2 définie par í µí±(í µí±¥, í µí±¦, í µí± §) = (í µí±¥ + í µí±¦ + í µí± §, −í µí±¥ + 2í µí±¦ + 2í µí± §) On appelle í µí»½ = (í µí± 1 , í µí± 2 , í µí± 3) la base canonique de ℝ 3 et í µí»½ ′ = (í µí± 1 , í µí± 2) la base canonique de ℝ 2. 1. Montrer que í µí± est une application linéaire. 2. Donner une base et la dimension de ker(í µí±) et une base et la dimension de í µí°¼í µí±(í µí±). Allez à : Correction exercice 2 Exercice 3. Soit í µí±: ℝ 3 → ℝ 2 définie pour tout vecteur í µí±¢ = (í µí±¥, í µí±¦, í µí± §) ∈ ℝ 3 par : í µí±(í µí±¢) = (−2í µí±¥ + í µí±¦ + í µí± §, í µí±¥ − 2í µí±¦ + í µí± §) 1. Montrer que í µí± est une application linéaire. 2. Donner une base de ker(í µí±), en déduire dim(í µí°¼í µí±(í µí±)). 3. Donner une base de í µí°¼í µí±(í µí±). Allez à : Correction exercice 3 Exercice 4. Soit í µí±: ℝ 3 → ℝ 2 définie pour tout vecteur í µí±¢ = (í µí±¥, í µí±¦, í µí± §) ∈ ℝ 3 par : í µí±(í µí±¢) = (−2í µí±¥ + í µí±¦ + í µí± §, í µí±¥ − 2í µí±¦ + í µí± §)