Асимптотические разложения собственных значений и собственных функций эллиптического оператора в области с большим количеством близко расположенных на границе “легких” концентрированных масс. Двумерный случай (original) (raw)
Related papers
2020
Изучается неограниченная операторная (2times2)(2\times 2)(2times2)-матрица mathcalA\mathcal AmathcalA в прямой сумме двух гильбертовых пространств. Получены асимптотические формулы для числа собственных значений операторной матрицы mathcalA\mathcal AmathcalA. Рассматривается операторная (2times2)(2\times 2)(2times2)-матрица mathcalAmu\mathcal A_\mumathcalAmu ($\mu>0$ - параметр взаимодействия), ассоциированная гамильтонианом системы с не более чем тремя частицами на решетке mathbbZ3\mathbb Z^3mathbbZ3. Найдено критическое значение mu0\mu_0mu0 параметра взаимодействия mu\mumu, при котором оператор mathcalAmu0\mathcal A_{\mu_0}mathcalA_mu_0 имеет бесконечное число собственных значений. Эти значения накапливаются к нижней и верхней граням существенного спектра. Получена асимптотика для числа таких собственных значений, лежащих как в левой, так и в правой части существенного спектра.
Асимптотики собственного значения двухчастичного дискретного оператора Шредингера
Теоретическая и математическая физика, 2012
Рассмотрен двухчастичный дискретный оператор Шредингера, соответствующий системе двух одинаковых частиц на решетке, взаимодействующих с помощью парного контактного потенциала притяжения. Показано существование единственного собственного значения, лежащего ниже дна существенного спектра при всех значениях константы связи и двухчастичного квазиимпульса, и найдено разложение собственного значения в виде сходящегося ряда. Ключевые слова: гамильтониан, дискретный оператор Шредингера, квазиимпульс, существенный спектр, собственное значение, асимптотика, разложение для собственного значения, определитель Фредгольма.
Асимптотика собственных значений дискретного оператора Шрeдингера с контактным потенциалом
Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2012
Асимптотика собственных значений дискретного оператора Шрёдингера с контактным потенциалом Рассмотрено семейство дискретных операторов Шрёдингера Hµ(k), k ∈ G ⊂ T d. Эти операторы ассоциируются с гамильтонианом Hµ системы двух одинаковых квантовых частиц (бозонов), движущихся на d-мерной решетке Z d , d 3, и взаимодействующих с помощью парного контактного потенциала притяжения µ > 0. Доказано, что для любого k ∈ G существует число µ(k) > 0-пороговое значение константы связи, и при µ > µ(k) оператор Hµ(k), k ∈ G ⊂ T d , имеет единственное собственное значение z(µ, k), лежащее левее существенного спектра. Найдены асимптотики z(µ, k) при µ → µ(k) и µ → +∞, а также при k → k * для любого значения квазиимпульса k * = k * (µ), лежащего на многообразии {k ∈ G : µ(k) = µ}, где µ ∈ inf k∈G µ(k), sup k∈G µ(k). Библиография: 19 наименований. Ключевые слова: дискретный оператор Шрёдингера, гамильтониан системы двух частиц, контактный потенциал, собственное значение, асимптотика.
Асимптотика собственного числа на непрерывном спектре сужающегося волновода
Математический сборник, 2012
Асимптотика собственного числа на непрерывном спектре сужающегося волновода Установлено существование собственного числа, вкрапленного в непрерывный спектр задачи Неймана для уравнения Гельмгольца в двумерном волноводе, имеющем два выхода на бесконечность в виде полуполос единичной ширины и ширины 1 − ε, где ε > 0-малый параметр. Функция толщины участка волновода, соединяющего указанные выходы на бесконечность, имеет порядок √ ε и задана как линейная комбинация трех достаточно произвольных функций с коэффициентами, определяемыми при решении некоторого нелинейного уравнения. Результат получен на основе асимптотического анализа вспомогательного объекта-расширенной матрицы рассеяния. Библиография: 29 названий. Ключевые слова: акустический волновод, волны на поверхности жидкости в канале, собственные числа на непрерывном спектре, асимптотика, расширенная матрица рассеяния. Работа первого автора выполнена в рамках проекта F.A.R. 2009 of University of Sannio-Asymptotic analysis and numerical modeling, а работа второго автора-при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 12-01-00348).
Оценки снизу для сумм собственных значений эллиптических операторов и систем
Математический сборник, 2013
Оценки снизу для сумм собственных значений эллиптических операторов и систем Для сумм собственных значений эллиптических операторов и систем с постоянными коэффициентами и условиями Дирихле получены двучленные оценки снизу типа Березина-Ли-Яу. Рассматриваются полигармонический оператор, система Стокса и ее обобщения, двумерная задача об изгибе пластины, а также оператор Клейна-Гордона. Библиография: 32 названия. Ключевые слова: неравенства Березина-Ли-Яу, оператор Стокса, полигармонический оператор, задача об изгибе пластины.
О числе собственных значений двухчастичного дискретного оператора Шредингера
Теоретическая и математическая физика, 2009
Рассматривается двухчастичный дискретный оператор Шредингера, ассоциированный с гамильтонианом системы двух частиц (фермионов), взаимодействующих только на ближайших соседних узлах. Установлены число и местоположение собственных значений этого оператора в зависимости от энергии взаимодействия частиц, квазиимпульса системы и размерности решетки Z ν , ν 1. Ключевые слова: гамильтониан, двухчастичный дискретный оператор Шредингера, квазиимпульс, существенный спектр, виртуальный уровень, собственные значения, определитель Фредгольма.