������������ ���������� (���, ������) (original) (raw)

������������ ���������� (����� )�������������� ����������, ����������� ��������� ������������� (���������� � ����������) �������� ������������ � ���������� �������, ��������� �� ������ ����� ��� ���������� �������. ������������ ���������� �������� ������������ ��������� ��� ����� ��������������� �������, ������� ��������� ������ ��������� ����������� �������. ������������� � �������� ������������ ���������� ����� ������� � �������� ��������, ������ � �.�.

� ����� �� ������ ����� ������������ ���������� ���� ���������� ������ � ������������� (�. ��������, 1696): ���������� ����� ������, ������� � ������������ ���������, �� ������� ������� ������������ �����, �������� ��� ��������� ������ ����� ���� ������� � �� ������� ��������� ��������, �������� �� �������� ��������� � ������ ��������� �� ������� �������. ��� ������ �������� � ��������� ������� (), ������������ ������� �����������

��� b � �������� ����� �.

������ ����� �� "������������" ������� �������� ������ �� ��������� ����, ����� �������� ���������������� ����, ������ �� ��������� ����� (����� )� ��������� ����� �, � ����� � ���������� ���������� ���������� (�� ���� � �����, ��� �������� ��������������� v ���� ������� ���������). ��� ������� ���� ������ ����� ���� �����������, ��� ����������, ����� �������, �������� �������� �� ���� ������, ����������� ����� �, ��� ����� ���������������� ����� ���, �� ������� ���� �������� �� A � �� ���������� �����. � ���������� ������, ����� ���� ���������������� � ���������, ������ �������� � ��������� ������ y (x), ������������ ������� �����������

� �� ������������ ����� ��������� ���� ���������� � 18 �. ������ ������������� ������������ ���������� �� � ����� ���������� ������������ ���������� � ��������������� ���������� ��� ���������� ���������� ��������� � ���������� ���������� �������� � ������. �� ���������� 2-� �������� 18 �. � ����� 19 �. �������� ����������� ������� ��������� ������ ��������, �������� �� ��������� ����� ������������ �������� (��. ������������ �������� ��������). �� 2-� �������� 19 �. �������� ��������������� ��������� ������������ �������� � �������� �������� ����, ����� ������� � ��������� ��������, ��������������� � �.�. ��������� ������������ �������� � � ������ � ����������� �������. ������������ �� ���� �������� �������� ���������� ������� ����� ������������ ����� ����� ������������ ���������� � �������� ���������� �� �������. ������ �� �������� ��������� � ����� ������ �����, ������ ������������ ������������ ������� ���������� � ������������ ������������ ���������� � ���� �� �������� �������� ������ ����������� ����������, ���������� � ����, � ����� �������, ����� ����������� �������, ����������� � ������ ������� � ��������� � ��������������� �������, � � ������ � ������������� �������������� ������ ������� ����������� ��� ������������� �����.

������ ������. ������������ ���������� ��� ��������������� ������� ���������� �������������� � 18 �., ������� ������� ��������� ������� �. ������.

���������� ������� ������������ ���������� �������� ������ ��������� ������� x (t), ������������ ��������� �����������

� ��� ����������� � ���������������� ������� ����� ����������. ��� ���� ������� x (t) ������ ������������� ��������� ��������:

� �) ��� ������ ���� ������� ����������������,

� �) ��� t = tot = T ��� ������ ��������� ��������

� � (to) = �0, � (�) = ��.�� ��(2)

� ��� ������, ������������� � ������ ������, �������� �������� �������� ���������� ������ ������������ ����������

� ������ ������������ ������ ���� �������� ��������. ��� ���� ���������� � 18 �. �, ������ ��������� ���� �������, ������ ������, �� ������� ���� ���� ��������, ��� ������ � ������� ������������ ��������� ������� x (t), ����������� ������� ����������� (1).

� ����� ������ ��������� ����� ������� ����� ������������ ����������, ������� ������� �������� ������ ������ �������. ���� ����� ��� ������ ����� �������� ������, ��� ����������, ������ �������; ��� ��� �������� �� �������� ������ ��������� ���������� ����������� � ������ ��������� ���������� ������� ������ ����������. ��������� ��� ��������� ������� � ������� ��������� ������ ���������� ������� � ��������� ���������� ������� � ������� ������ ����������, ��� ���������� ������ ������� ��� ������� �����. ������� ������ ����� ������ ������ ���� ��� ��������� �����, �� �������� ������������ ������ �����������, ������������ ������������ ����������

� � 20 �. ������� � ������ ������� ����������� ��������. ������ ����� ���� ���������� ����� ������� �������� � ������ �� ���������� ������� ��������� ����� ����������. ������� ��� ���� �� ������� �������. ���������� ����� ������ ��������� �������� ����������� (1) ��� ��������. �������

� _x (to) = x (T) = 0_���� (3)

� � ����� ����������� ������� ������ � �����

��� jn (t) � ��������� ������� �������, ��������������� �������� ���� (3). ����� ���������� J (x) ���������� �������� ������������� ai:

� J = J (ai,..., a),

� ������ �������� � ��������� �������� ���� ������� ����������. ��� ��������� ��������, ���������� �� ������� ������� {jn}, ������� ���� ������ ��������� ��� � ¥ � ������� ������ (1) (��. ����� � ��������� ������).

������ ������� �������� �������� � ������ ������� � ��� ��������������� �������� ����������������� ������� � ������� �������������� ������, ���������� � 20-� ��. 20 �. ���������� ��� ���������� ���������� ������ ������ � �������� ���������� ������� ������������ �����.

����� ��������. ������ ����������� ������������ � ��� �������� ����������� � ����������� �������, ������� ������ ������������� ������� x (t), ����������� ��������� ����������� J (x). ��� ������������� ����� ������� � ������ ������. �����������, ��� ��� ��� ���� �������� ��������� ������� x (t). ��� ���������, �������� �� ��� ������� �������� ������? ������ ������� ������ �� ���� ������ ��� ��� ������� � 1744. � ����������� ���� ������������ ����� ������ ������������� ��������� � 60-� ��. 18 �. �. ��������� ������� �������� (������ �������� � ������������ ����������), ���������� ���������� ������� ������������� �� ������ ������������.

� ����� x (t) �������, ��������������� ������� (2), a h (t) � ������������ ������� �������, ��������������� ������� h (to) = h (T) = 0. ����� ��������

J (x + eh) = J*(e),

��� e � ������������ �������������� ����� ����� �������� e. ��������� dJ ����������� J �������� �����������

(dJ*/de)e = 0.

��� ���������� ������ ������������ ����������

�������� ���������� ��������� � ��� �� �������� e, �������

��� � (e) � ����� ����� �������� �������. ��� ��� h (to) = h (T) = 0, ��, ������� �������������� �� ������ �� ������ ���������, ������

� ����� ������ x (t) ��������� ���������. ����� ������� J*(e) ����� ��������� ��� e = 0. ������� �������� dJ ������ ���������� � ����. ������ �������: ��� ���� ����� ������� x (t) ���������� ��������� ����������� (1), ����������, ����� ��� ������������� ���������

����������� ���������� ������.

� ��� � ���������������� ��������� 2-�� ������� ������������ ������� x (t). ����������� ������� dJ = 0 ����� ���� ��������� � ���� ������� ��� ������������ ��������� ������� ������������ ������, ��������� ������� x (t) ���������� ������ ���� �������� ������� ������ x (to) = xo, x (T) = xT ��� ��������� (4). ���� ������� ��� ������� � ��� �����������, �� ������� ��� ����� � ������� �������� ������������ ������. ���� ������� ������ ��������� ��������� �������, �� ���������� ��������� �������� ����������� ��� ������� �� ������� ������� ������ � ������� �� ��� ��, �������� �������� ���������� �������� J (x). ������ ��������� ���� �������� ����� ������������ �����������: �� ���������� ������������� �������� ������� ������� ����� ��� ������������ (����������) ���������������� ���������.

� ��� �� 2-� �������� 18 �. ���� �����, ��������� ������������ ����������, ����������� ����������. ������ ����� �������� ����������, ����������� � ���������� ������ ������������ ����������, ���� ���������� �� ����� ������ ������������ ������������ ����

��� x (t) ������-������� ������������ �����������, � �� ����������� ��� ����� ������ ����.

�������� ���������. ������ ��������. � ����� 18 �. ��� ������������� ��� ����� �� �������� ���������. ���� �������� ������� �������� ������ ��������� ������� x (t), ������������ ��������� ����������� J (x) ��� �����-���� �������������� ��������, ����� ������� �� ������ ��������� (t0, T). ���������� ������� ��������� ���� �������� ����� ��� ���������� ������������������ �����. ����� ��������� ���� ����� ����� ������ ���������: ����� ���� ��������� ������ ������ ����� ����� ��, ������� ������������ ������������ �������.

� ����������� ����� ������� ������� �������� ��, � ������� ����������� ����� �������� ���������������� ���������. ��� ������ �������� ������� ��������; ������ �������� ��� ��������� � �������� 20 �. � ����� � ��������� ������ ������������ ����������. ������� �� ������������ ������ ���� �� ����� ���� ������, ��������� ����� ����� �. �. ���������� � ��� ��������.

� ����� x (t)u (t) � ������-������� ������������ nm ��������������, ������ ������� x (t), ������� �������� ������� ��������, ��� t = tot = T ������������� ��������� ��������:

� x (t0) Πe0, x (T) ΠeT���� (5)

� ��� e0 � eT � ��������� ���������. ���������� �������� ������� ���� (5) �������� ������� (2). ������� x (t) � ������� u (t), ������� �������� �����������, ������� ��������

� dx/dt = f (x, u, t),���� (6)

� ��� f � ���������������� ������-������� ����� ����������. ��������������� ������ ������� � ���������: ���������� ������� x (t) � u (t), ������������ ��������� �����������

�������, ��� � ���������� ������ ������������ ���������� � ������������������ ������ �������� ������� ������� ������ ��������.

� ������ �������� ����� �������� ���������� ��������. �����, ��������, ��������� (6) ��������� �������� ������-���� ������������� �������, �������� ������������ �������. ���������� u � ��� ������ ���� ��� ���������. ��������� e0eT � ��� ��� ������ ������ ��������. ���������� (7) ��������� ������ �������� �� ���������� �������. �������������, ������ ��������, ������������� � ������ ��������, ����� �������������� ��������� �������: ���������� ����� ��������� ���� ��������� ������������ ��������, ������������ ������� � ������ e0 �� ������ eT �� �������� ����� ���, ����� ������ ������� �� ���� ������ ��� �����������.
� ������ ���� � ������ �������� ����� ������ ������� ����������<
� (x, y, u) = (f, y) - .

� ����� y � ������, ���������� ���������� �������� (��� ���������), (f, y) �������� ��������� ������������ �������� fy. ����������� ������� � ������ �������� ������������� ��������� �������: ��� ���� ����� ������� �� ����� �������� ������ ��������, ����������, ����� ����� ������������ ������ ������� ���������� � (�, y, u), �� ����, ����� ���

� ���� �_/�_u = 0, ��� y � �� ������ ������������ ���� ������� ���������

� _�y/t = ��/�x = j(x, y, u, t)._���� (8)

� ��� ������� ����� ������ ���������� ��������, ��� ��� ��� ��������� ��������� ����������� ��� ������������ ���������� �������� x (t) � u (t).

�������� ������������ ���������� � 19 �. �������� ������ ����������� � 19 �. ���� ���������� �� ������������ �������, ����������� ��� ����������� ��� ����, ����� ������� x (t) ����������� ��������� ����������� J (x). ��������� ������ ���� ������ �� ����� �������; ��� ���������� ������������ �������

� ������� ��������������� � ������ ������� ��������� ����� ����������. ������ � ���� ������ �������� ��� � ������ �������. ��������, ��� ����, ����� ������� f (x) ����� � ����� ��������, ����������, ����� � ���� ����� ����

� ����� �� �� ��� ������������ ������ h. ����������� ��������� ������: � ����� ������� ��� ���������� ����������� �� ������ ������������? ��� ���� ����� ����������� ���� ���������, ������� ����� ���������, �������, ��� ������� ������ ����������� ������� ����� ������� ������ ������ � �� ������ ������� ����� ������� ������� ������ � �.�.

� �������� ������� ��������� ���������� ������������� � �������� ������������ �. ��������, �. �����, �. �. ��������������, �. ����������, �. ������������ � ������ ������. ��� ������������ �� ������ ��������� �������������� ������, �� � ������� ������� ���� � ������������ ���� ������������� �������� � ������� ��������� ������� �� �������� ������������� ������� ������������� ������.

�������� ������������ ���������� � 20 �. � 20 �. ������ ����� ��� ����� ����������� ������������ ����������, ��������� � ����������� ��������� �������, ������� �������� ���������� � �������������� �������. ���� �� �������� ����������� �������� ������������ ���������� � 20 �. � ������������ �������������� ����� ������������ ����������, ��������� � �������� �������� ��������� �. �. ����������.

� ���������� ����� ������ ��������: ���������� ������� �����������

� ��� �������

� ������� ������ x (t) ������ ������������� ��� ��������� ��������� ��������.

� � ����� ������������ ���������� ������� ������ �������� �� ��������������� ������� ����������� �� ���������� u (t). ���� (��. ������ �������� ���������. ������ ��������) �������������� ������ ����� ����� ������� �������� � ������� ����������. � ������������� ��� ������� u (t) ���� ��������� ���������. ��� �������� ��������� ������������: ���� ��������� �� ����� ������������ ��������� ��������, � ���� �������� ������� ���� ����� ���������. � ������ ���������� ������� ���������� ui (i = 1,2,3) ������� ���� ��������� ��������� ������������

� ��� �-i � a+i � ��������� �������� �����. �������� �������� ����� �������� �����.

� ����� �������, � ������� ��������� ����� �����, ������� �������� � ������ ��������, �� ��� �������������� ������������ ���� (10), ������������ � ����� u ΠGu, ��� Gu � ��������� ���������, �������, � ���������, ����� ���� ���������. ����� ������ �������� �������� ����� ������������ ����������. � ������ �������� ����� ��������� ���������� u (t) ��� ������ ��������� (8) � �������� ������� ���������, ������� �������� ������ ������� ���������� � ��������� �������� j. ��� ������ ������������ ���������� ������ ��� ���� ���������� ����������� �������. ��� ������������ ������� � �������� �������� ��������� �. �. ����������. �� ����� ���� ������������� � ����� ��������� �������: ��� ���� ����� ������� �� ����� �������� ������ ������������ ���������� ����� ��� ���������� ������� ����������� (9)), ����������, ����� u (t) ���������� �������� ������� ����������

� ��� y � ��������� �������� (�������), ������� �������� ��������� �������� ���������� ���������

� ������� ��������� ��������� ������ ������ ������������ ���������� � ������� ������ ��� ������� ������������ ���������������� ��������� ������� 2n (n � ����������� �������� �������). ������� ��������� � � ���� ������ ���� ����� ������� ���������, ��� ������� ��������, ��������� �� �������, ����� ����� �� ������������ ��������� ������� ���������� �, � ���������� �������� �.

�������� � ������ ������ � ��� �� ��������� ������ ������������ ����������. ����� s (�, t) �������� ����������� (9) ����� ������������ �������. ����� ��� ���� ����� ������� ����� ����������� �����������, ���������� (� � ��������� ������� � ����������), ����� ������� s (�, t) ������������� ���������� ����������������� ��������� � �������� ������������:

� ����������� ���������� �������� (��. ������������ ����������������).

���� ��������, �������� ���������� ������������ ����������, ���������� �����������. � ���������, ��� ������� � ������� �������� ��������� �������� ������������ J (x) ������ ������ ����, ���������� �� ���������� Gx ��������� �� ������������� �����������. ��� ����� ������ ���� ��� ������ ������������ ����� ��������. �������� ����� ������, ���������� �� ������������� ������� ������ � ��������� �������������, ������� ������������ � �.�.

� ��� � 19 �. ���� ���������� �������� ����� ����� ���������� ���������� ������ ��������� � �������� ������������ � ������������� ��������. �. ������� �������, ��� ������� ������� ����� ��� ��������� ������� ������������ ������� ��������� ������������ ������. ��� �������� ���������� � ���� ��� ������ � ������ ��������. ���������� ���� ������.

� �����������, ��� ������� ��������� �������� ����������� ���������

Ax = _f,_���� (11)

� ��� � (x, h) � ��������� ������� ���� ����������� ����������, ������������ � ���� �� ��������� ������ �. ��� ��������������, ������������ ��� ���������� ������ ����� ������, ������ ��������� ������� ��������� (11) ������������ ��������� �������� �����������

� ��� � �������, ������������ ������ �.

� ��������� (11) � ���� ������ �������� ���������� ������ ��� ����������� (12). �������� ������ (11) � (12) ��������, ��������, ���� � � ��������������� � ������������ ������������ ��������. �������� �������

� ������������� ���� �����������. ����� ����� ���������� ��� ��������� � �������� ������������ � ������������� �������� ����� ������� ������������ ��������. ��� ���������, � ���������, ������������� �������������� ��������� ������ ������������� � �������������� � ������� ������ ���� � ������� �� ���������� �������. ��� �������� ����� ����� ����� � ��� ��������, ����������, ��������� ��� ��������� ������������ ������ ������ ������������� ����������.

� � ������������ �������� �������� ������������ ������������ ���������� ������ �� ������� �� ���������� ������ ������������ ����������, ������� ������� ������� ������������ �������. ������� ������� ������������ ������ ������������� ���������� �������� ����������� ��������� � ������� ��������. ����������� ��������� ������ � ���, ������� ������� ��������� ��� ������. �������� ����� ������ �������� ������ � ���������� �������������, ������� ����� �������� ����� ����� ������� �� �������� �����������. �������� ��������� ���� ��������� ��� � ����������� ������������ ������ ���������������� ��������� � ���������. ��������� �������������� ����� ����������. ������, ������������� ��� ������� ���������, ���������, ��������������� ������� � �.�., ��� ���� �������� ����������� � ������������ ���������� � ���� �������, ���� ������������ ���������� ��������� �� ��� ����� ������� ����������, � ����� ����� ������������ ���������� � �������� ��������� ���������� ������ �������� ��� ������.

���.: ���������� �. �., ��������� �. �., ���� ������������� ����������, 2 ���., �. � �., 1950; ����� �. �., ������ �� ������������� ����������, ���. � ����., �., 1950; ������ �. �., ������������ ������ � �������������� ������, �., 1957; ������� �. �., ���� ������ ����������, 5 ���., �. 4, �., 1958; �������� �. �., ����� �. �., ������������ ����������, �., 1961; �������������� ������ ����������� ���������, �., 1969.

� �. �. �������.