������� (���, ������) (original) (raw)

������� (����� ).

����� ��������

- ���� �� ������� �������� ����������, ������������� ������ � ��������������������� � ����� ��������� ������ ���� �����. ������, � ����� ������ , ���������� �� �� ������ �������� ����������, ����������� ����������, ������� � ���������. �������� ��� �������� ���� ������������ ��������, � ���������� ������� ����� ������� ��� ������� ���������� �������������� �����. ������ ��� ����������� ������ � ����������� � ������� ���������.

� ������ ������� � ������������ ��������� ������� ������� ������� �� �������� ��������������� ��������������� ������� �����. � ��������� � ����� �������������, ��������������, ����������� ����� ����� ������������ ������� ���� ��������� �������� ������ ���� ������ � ��� ���� � �������������� ����������� ��� ��� ��������� �����������, ����������� �������� �������� �������� ��� ������� � ������ �����, ������� ��� ���������� ���������� ��� ���������� �����������. ��������� ���������� ������������� ��������������, ������ ����������� ��������������� �� ������������ �������� (���������� �������� ��������) ��������� ������ ���������� ��������, ���������� ������� ������������ ��� ����� ������������� �� ����������: �������, ��������� ���������� �������������, ����� �������� �������� ������ � ����� ������ ������� ����� ��� ������ ���������; ���������� ���������� �������� ���������� � ��������� ��������� �������, � � ����� ����� ������� �������� (��. ����� ������) - ����� ������� ��������������� ���������� �����. �������� , �� ������� � ��������� ������� ����� ������� ������� �� �������� ����� ����� �������� ����������, ����������, � ���������, ��������� ������� ���������������. ������ ���������� �������� ������� �������, �����, ��� ���������� ��������, �������, ���������� ��� ��������� ���������, � � �������, � ��������� � ���������������� � ������������ �����������, ��������� ���������� ��������� ������������ ���������� �������� ������������ �������� �����, ��� ���������� ����� ���� � ����������, ������������ �������� � ��������� �����. ��� �������� ����� ������������� ��� ���� � �� ��� �������, � ��� ��������� ����� ��������� �������. �������� ��������� �������� ������ ������������ ���������� �������������� ������� �������� ��������� (��. ��������� ����������). ������� ����� ����������, �������� �� ����� � ������� ���� �� ����� ����� ���������� ���������. �������� ���� �������� ��� ��������� �� ������ ������ �� �������� �������� � ��������� �����, �� � ��������� ���������� �������. ��������, ��������� ������������ ���� �������� �� ������������, �. �. ������ ** = (,)**����� �� ��������� ������� **D = (�,�),**��������, � ��������� ���������� ��������� �������: (�,�) = - (�,�).

������ �� ��������� �������� �������� (��. ��������� ����������), ������� ����� �� �������� ��������������� ������� ����������� ������. � �������� ����� ������������ �������� ������, � ����� ������ ������ �������������� �������.

� ����� �������, � ����� �������, ����������� ��������� ����� ���� ���������� ��� ����� � �������� �������� ��� ��� ���� �������, � ������� ����������� ��������, �� ����� ��������� ����� ��� ����� ������� �� ��������� � ���������� �����. ����� �������� ���������� ���������������. �������������� ������� � ��������� �� ��� ��������������� ���������� �� �� ��������� � ������� ��������� ������, ����������� ����������� � ���� ��������, ������� � ������ ������� � ������������ ���������, ������� � ����� �������� �������� �������� ����� ����� (�������� ��������� ����� ���� ������, �������, �������� � �. �.). ���� ����� ������ �� , ������ ������������ ���� � 20 �., ������������� ����������� ���������� ������� ���������� �������������� �������, � ��� ����� � �� ��������� ����������, � ��������� � ������. ������ � ��� �� ������� ����� � ��. �������� ���������� � ������ ������� �� �� ���������� ��������.

������������ �����

� ��������� ��������. ������� �������������� ����������, ��� �������� ���������� ����������� ������������ ������ ��� ������� ������������ ��������� �����. ��� ������� ���������� ��������� � ��������, ���������, ��������� � ������� �����, ������� ������ �����, � ����� - ���������� � � ����� ��������� �������� - � �������, ����������� ������� �� ���������� ����������� � ���, ��� � �������� ����������� ��������; �������� ��� ���, ��������� ��������� ������, �������� � ���������, �� �������� ��� ��������� ���� �����������. ����� �� ����� ��������� �������������� ����� ���� ��� � ���������������� �������� ������ (1700-2000 �� �. �.), ��� ������� �������� ���������� ������ "����" � ������������ ��������������� ������ - ���������� (��. �������� ��������������). ������� �������� ������ � ������� ����� ������� ������ (��������, �� �������������� � �������������� ����������). ��� ������������ ������, ��� � ������� �������� � ��������� ����� � ������ � ���� ���������� ��������� ��������. � ��� �� �� ����� ��������� ����������� ������� ����������� ����� �������, ���� �� �� �����, �� �� �������� ������������ ������� ��������� 1-� � ������ 2-� ��������. ������� � ������ �������������� ����� (��������, ������ ���� ��� ������).

� � ������ 20 �. ���� ������������ �������������� �������������� ������ (���������) � ������ �� ���������� ������� - ����������� (��. ����������� �������������� ������). ��� ������� ���� ������ �������������� ��������, �������������� ��� �� 4000 ��� �� ����� ����. ���������� � ������� �������� ����������� ������ ����� ������ ������������� ������; ��������� �� ��� ����������� ������� ���������� ��������� � ���� ������ ���� ��������� 3-� �������. ����� ������, ��������������� ������� ����������, ������ ���� � ���, � ����� ���� ���������� ��������� ����� ������� ������, ������, ��������, ��� ������� ���������� �����. ���������� ��������� ������� �������.

� � ������� ������ ���� ��������� �������� ���������. � ��������������� ��������� ������� ����������� ���������� ������������, ������ ��� �������� �������� ���������� ���������������. ���� ����� ������ ��� ������, ��� � ����� �������������� ��� �������������� ������� ������������ �� ���� ���������: �������� ������������ ��� �����, ������������ ���� ������� - ��� ������� �������������� � �. �. � � ����������� �������������� ����� �����������, ��������, �������� "�������" ��� ������������ �������� �� ����� ����. ����������� ��� ����� ������� ������� �������� ������� ������ � ������������ ���������� ���� � ��������������� ���������� ���������: ��������� ������� ���������� �����������, ����������� ������ ��� ������������ ���, � ������� ���� ����������, �. �. ������� ���������� � , ��������������� ��������� ������� �� ������� ��������� ��������� �����. ����������, ��� ������� ����� ���������� ����������� (�� ������ ����������� � ���������� ��������), �� �� ������ ������� ����� ������ ������� �������� ���������������� "����������" (��������, 3 �.), � ������� �� ��� �������� �������� ��������� � ����������� 1-� � 2-� ��������; � ���������� ����� � ���� ����� ����� � ������������ ������������� �����.

� �������� ��������������� ����� ���������� ������ �������������� ������� - ������� ����, �����������, �������� ������. ������������� ������� ������ ������ ��� ��� �������� ���� (������� ���� ��� ��� ������ �������������� ������ ����� ������ ��� ���������), ������� ���� ������ � ������� ���������� ������ �������� "��������". � ���������������� �� ����� �� ���������� ������� ������� ����� ������� (9-15 ��.) ���� ������� ����. ����� ������ �������� ���������� ������� ������������ ���������� ���������� � ��������� 9 �., �������� ������� ��������� ���-������� � �������� �������-�������������� ������, �������� � 15 �. ������������ �������� � ����������, ������ �������������� ������� �������� ������ ���������� ������ � � ������������ �����������, ������ �������� ����� ��� ���������� ������ ���� ����� "�������" - �������� (���-�����) � �������� ������� �������� ������ �� ��������� ������� (���-����� �������� ���� �� ������� �������������� ���������). �� ������� ������� ����� ������������� ��� ��������� ������� ����������.

� ���������� �������������� ������� ��� �������� �������� �������. ���������� �������� ���� ��������� ������ ����� ��������� �� �������� ������������ ������� �������� ��� ����������� �������� (��. ����� ��������������). ���� ������� ��� �������� � ���������, ���� ����������� � ����� ����� � ������� �������. � �������� ����� i (������ ����� isos, �. �. ������) ����������� ��� ���� ���������, ���� �������� ���������� � � (5-7 ��.), �� ����� ��� ������������� ��������� ����� ��������. ���������� �������� ����������� ����������, ���������� � 12 �. ���������� �������������� �������. �������� ��������� (13 �.) - �������� ���������� ��������� ���� �����, ������������ ��������������� ����������. ���������� �������������� ������ ��������� � �������������� ��������, � ������ ����� ����������� ���������� � ���������������. �������������� � ��������, ����������� ������ ����� ��������� � ������� �����������, �������� ������ ���� "����" � "�����" ����� ����������� ��������� ����� pt � ������ ��������� ������. � ����� 15 �. � �������������� ���������� ���������� �������� ������ ����� + � -, ������ ���� ��������, ��� ��� ����� ������� �� ����� ������������� � �������� �������� ��� ����������� ������� � ���������� � ����.

� ������ ������� �������� � �������� ��������� ��������� ������ (�������, �����, ������ � �. �.). � �������� 17 �. ��������� �������� ������� �������� ����������� - ������������ ���� ��� ����������� �� ������ �������� ������������, �� � ���� ������ �������� � ������ �������. �� ���� �������, ������������ ������������ �. ������ (����� 16 �.), � � ���������� ��� �� ��� ����� ������ � �������������; ��������������� ������������� ��������� �������. ����� ���������� ���� ��������� �����-���� ����� ��������. ���� ������������ �������� ����� ������� ����� ������, �. �. ���� ������� ������� ������ ������ ������ ������, ���� ������ ����� ������ ���� ������ � ����� ����, ��������� ����������� �������� �������� �, �, , ..., � ��������� - ���������� �, �, D, .... ��� ����� �� ��������� ���������� ��� � �� ����� ������� �������������� ��������. �. �. ������� ��������� ��������� �������, ����� ����������� ��� ����������� ������� � �. ������� (17 �.) ��� ����������� ����������� ��������������� ��������� ����� �������� (�, �, z).

�������� ������������� ����������� � �������� ��� �������, ����������� ����� ������ ���������� �����, ����� ������������� ������ ��������. ��� ����� ������ - ����� ������ - ���� �� ��������� ��������� �������� ������ ���������� ������� � 17 �., �������� ��������������� �������, ��������������� ��������� ������� �������� � ������ � �. �.

� ���������� ���������� �� ����� �������� ��������� 1-� � 2-� ��������. � ���������� 2-� ������� (�. �. ����������) ��������������� ���������� ������, ��-��������, �������������� �����, �. �. ������, ���������� � ���� ����������, �����������, ��������� ��� ����������� �������� � ���������� ���������� �� ��������� ������. ������ � �����, ����� ������������ ��������� ������� ��������� � ������� ����������� ���������� �� ������������: ��� �� ����������� ������������� �����. ������� ���� ��������� 1-� ������� (� ����� ������ �������)�� ������ ����� �������. ��� ������������ ��������� 2-� ������� ����������� ��������� ����� ������� ������� (�� ������ �������������). �������� ��� - ���������� ������������� ����� - ��� ������ ������������ (10 �.), �� ������ �������������� ������� �� ����� �� ����� ����. � �������������� ������� �������� ����������; ����� �������� �������������� ������������ ����������, � ������� ������������� ����� ����� ��������� ����� ������, �������, ���������� � �. �. ������������ �� ������������� ����� ���� ������� ������ � 17 �., ����� ���� ��� ������ �������������� �� ��������� �������������� �������������� ��� ���������� ������������� ���������.

� ������������� ������������� ��������� ���� ������ � ��� � ���������� ���� ������, � ������� ������, ����� �������������� ������ ���������� � �������������� �����, �� ������, ��������, �������������� �������� ��������� ��������� ��� ��������� �������� � ����������, ��� �������������� ������ ������������ �� ���� �������������� ������. ��������� � ����������� ���������� ������� �����, ������������� � ����������, � �������� �������������, ��������������, ������ ����� ��. � ��. �����. ����� �� ���� ��������, ��� ������������� �������� ���� ���� ����� �������� ������������ ��������� ��� ��� � : ���, ��������, ���������� ���������������� (�����) ��������� ��� ������� ��������� 2-� �������. �������, ��� ��������������� � ��������������� ���������� �� ����� ������ ���� ���������� ������ � ��������� ���������� ������� ������������� ���������� ��; �� ������ �� ���������������� ��� �� ����� ����������� ����������� �����. �������� �� ����������� ��� "������" ����� ��������� � ��������� ����� (18 �.).

� ����, ���� �������� � ������� ������ �����, �� � 18 �. ��������� �������������� � ��� ������, ������� �� ����� ���� ����������� � ������� �����. ��� ���������� �������� �������� � ���������, � ��������� �� ���������� ��������� � �������, � ����� ���������� � ������� (������� ������ ���������) � �������� ��� - ���������� �����. ��� �������� ������������� ��� ������� ��� �������, ������� ����� ���������� ������������� ��� �������������, ������������ ��� �������������� �����. ��������� �������� ������������� � ������� �����, �� �������� ����������� � ���������� 1-� � 2-� ��������. ������ � ���� ������ ������� ������ ������������ �������. ��� "������������" ����������� ����������� � �������, ������ � ��. �������� ����� � ��������. �� ���������� ����� � �� ���������� ���� ������ �� ��������������. ������ � �������� ���� ������ ������ ����. � 16 �. � �������� � 18 �. ���������� ������� �������� , � � 20 �. ��� ���������� ����� �������.

� �� ������� ����� ��������� ������������ � ��� ����, ��� ��� ��������� � ������ 18 �., ���� ������� ���� � ���������� "����������" �. �. ����������, �������� � 1703.

� 18-19 ��. � ����� 17 - ������ 18 ��. ��������� ���������� ������� � ������� ���������� � ��������������: ��� ������ � ������ ��������������� ������ ���������� ����� (���������������� � ������������ ����������). ���� ������� ��� ������ ��������� ���������������� ���, ������������� ������� � �������������� ���� ������� � ����������� �� ��� ���� �������������� ��������� � ���������, ��������� ����������� � �������� ��� ���� ��� � 16-17 ��. �������������� ���������� ������� �� �������������� �������� ��� �� ����������, ��� ��� ���������� ��� ������� ���������� �����, ��� ������������ ��������� ����� �������� ������ ������������� ����������� ��������� ������ - �� �������.

� ������ ����������� � 17-18 ��. � ������ �����. � ��������� �������������� �������������, � ���� ����������� �� �������� �. ������. � ������ �������, �������� ������� ���� ������� ����� ������ � ��������������, �������� ������� ���� � ��������� ������ ������������� ���������� � ������ ���������������� ���������. ������� �������� � ����� ������� ���� ��������� ����� ������� �. ������, ����������� ����� � ������������� �������� ����. ���� ���� ����� ������� �� ������� ����� (1768-69), � ����� ������������ ��������� �� ����������� ������. ������� �� ������� � 18-19 ��. ��������������� ���, ��� ����� ����� �������� ��������� ���������, ��������. ��� ����������� ���������� � 1-� �������� 19 �. �. �. �����������, ��������� ���� ����� ", ��� ���������� ��������" (1834). ���������� ��������� ���������� (�������� � ���������), ������������� �������� ����� ���.

� ���������� ����������� ��������� �������� ��������, �������� 5a3bx2y. ����� ��������� ����� ����� ���������� (� ������ ���������) ���������� �����������. ���� �������� �������� �� ���� �� �������� � ��������� ����, �������� x, �� ����� ������� ��� ���: a0xn + a1xn-1 + ... + an, ��� ������������ ao, a1, ....,an ��� �� ������� �� . ��� - ��������� n-� ������� (������ ������������ - �������, ����� ������������ �������). 18-19 ��. � ���� ������ ����� �����������.

� ����� , �. �., ����������� ����������� ���, ��� ����� �������, �� ���� ���������� �������� � �������, ������������ ������� , ��������� � ������� �������� � ������������; � ������ ������, ��� ��� ����������, �� �������� ����� ��������������� �������� ��� ���������� � �����. ������ � ��� � ������ ���������� ����� ����� ����� ���������������, � ������������� ����� ���� �� �������� �������. ���, ��������, ������ ������� �� �� ���������, ��� ������� �� �� ��� �� � ����������. �� ������ ������� �������� �����������, ��� ����� ������� �������, ��������� ���� ��� ����� ������ �������. �������, ����� ��� ���������� ������� ���������� �������� ��������� ������� �������� ����� ������� ������� � ����������� ��� ����� �����������: ���������� ������ - ������� ���. � ������ �������, ������� ���������� ����� �������������, � ������������� � ����������� ����� �������� ����� �������������� � ���������� �������, �� ��� � �����, ������������� ���� (��. ���� - ����������� ��������� �������).

� ���� ���������� ��������� ���� (��� ������ ������-���� ������������� �����), �� ������� �������������� ���������. ����������� ������ ������� ���� ������� ����� ���������, �. �. ���������� �� ������ - ��� �������� ����������� �������� �, ��� ������� ��������� ����� ����. � ������� ������ �������� ������� ����������� ��������� �2 + px + q =0 � ���� �������:

� __������� ������� ��������� 3-� � 4-� �������� ���� ������� � 16 �. ��� ��������� ���� _x3_+ px + q = 0 (� �������� ����� �������� ������ ��������� 3-� �������) ��� ������ ��������:

��� ������� ���������� �������� �������, ���� ������ � ���, ���� �� ��� ������� ����� ��. ������� ��� �� ������������ �� � ������ �����������, ������ ������� ������ ��������. ����� ������� �������������� ��������� 4-� ������� ������ �. �������. ����� ����� �������� ����������� ������ ������, ������� ������ �� ��������� � ������ �������� �������� �������, �. �. ������� �� ������� � ����������� ������ ("������� � ���������"). ��� ������ ������������ ����� ���� ��������, � ���� � ������ 19 �. �. ����� � �. ����� ��������, ��� ��������� �������� ���� 4-� � ����� ������ � ��������� �� ��������: ���������, ��� ���������� ������������ � ��������� ��������� n-� ������� ��� ������ n, �������� ��� ������� 5. ������, ��������, ��������� x5 - 4x - 2 = 0. ��� �������� ����� ������� ��������, �. �. ���������, ��� ����� �������������� ��������� - ������� ������� ����� �������, ��� ��������. ����� �� ����������� ����, ��� �������, ������������� �����������, � ������� ������ ����� �������� ������ ���������, ������ � ������ ���������� ������ ����������� ��� ������. ������� ��������� � ��������� ����������� �������� ��������������� ��������� � ���� ��������� ����: _y_m = �, ������� � �������� �����, ���

� �������� � ����� ���������� ��������� � ����� ������ �����������, �� ������ ������: � ���� ����� ����� ������� ��������� ����� ������ ������� ��������� ���������? ��������, ����� ����� ����� ��������� ����� ��������� ��������� ���������� �����������, �. �. ��� ������ ������� �������� - ��������, ���������, ��������� � �������. � ����� ����� ������� ��������� ����� ������ ���������� ����������� ������ �� ������ �������.

� � ����� ������������ ������� ��� ���������� ������ ��������� �� �������� ������������� �� ���� ������ ������������� � ����� �������� ������� ��� ��������� ������ ��������, �. �. ��� ��� ��������� 3-� � 4-� �������� ����� ������� ����������� ���� �������. ��������� ������� ��������� ����� ���� �����, ����� ������������� ����������, ��� ����� ��������, ��� �� �������� (��������, � ���������� � �������) � ���� ������������ ������ �������� ����������� ���������, �. �. �������� ���� �����������, � ��� ��� ���� ���������.

� ������������ ���������� ������ �������������� ��������� �������� ������ ������� �������������� ����������, � � ���������� ������� ����������� �������� ����� ������� �� �������, � ��������� � �������������� ����������� �������������� �������. �� ���������� ������� �� ������ �� �������� �������� ����������. �� ����� ����� - ���� ��� ���������� - ������ ������� ����������: ����� ����� ������������� �����, ��� ����������, ���� ����� �� ������������ �������. � ������� ������ �������������� ��������� ����� �������� ������ � ����� ������ � �� ���������. ����� ������� �� ����, ����� ����� �� �������������. ���� ��������� ������������� � ������������� �����, �� ��������� 1-� ������� ������ ����� ������� � ������ ������ ����. �� ��� ���������� ��������� ����� � �� ����� ������� ����� �. �. �������������� �����; ��������, ��������� _x2_+ 2 = 0 �� ����� ���� ������������� �� ��� ����� ������������� ��� ������������� �, �. �. ����� ������ �������� ������������� �����, � �� ����. ������������� ������� � ����

�� ����� ������, ���� �� ����� ����������, ��� ����� ���������� ������ �� �������������� �����. ������ ������ ���� ������ � ���������� ����������� �� �. �. ������ �����. ��� ������ ��������� ������ ������������� ��� ������������, �� ������������ ��� ���� ������� � ����� ������ � 19 �. ��� ����� ��������� ��������� ������� �� ������ � , �� � ����� �� ���� �������� ���������� � �� ����������. �� ���� ���� ��� ��������� � ������ ������, ��� ������ ������ �������������� � "��������", ������ ������ �� � �������� ���� ����� �� �������, � ������������ �������.

���� ��������� � ����������� �����, �� �����������, ��� ����� ��������� _n-_� ������� ����� �����, ������ ��� ����� � ��� ��������� � ������ ������������ ��������������. ��� ������ �������, ������� �������� �������� ������� , ���� ������� ��������� � 17 �. ����������� ����������� �������, �� ������ ������� �������������� �� ���� ���� � ����� ����� 18 �. �. �������, � ��� ��� ���� ������������ ������� ��������� �������������. ��� ��� �������������� ������ ����, � ��� ��� ���� �����, ���������� � �������������; �. �., �������������� �������� ������� ���� �������� �� ������� , ������������ ������ ��� ������������� �������������� ����� � �����.

� ���� xi - ���� �� ������ ��������������� ���������

a0xn + a1xn-1 + ... + an = 0,

� �� ����� ��������, ��� ���������, ������� � ����� ����� ���������, ������� ��� ������� �� � - xi. �� �������� ������� ����� ���������, ��� ������ ��������� n-� ������� ����������� �� n ����� ���������� 1-� �������, �. �. ������������:

_a_0_x_n + _a_1_x_n-1 + ... +_a_n = _a_0(_x_-_x_1)(_x_-_x_2) ... (_x_-_x_n),

������ ��������� ��������� ���� ���� ������������ ���������� �� ��������� ������ ����.

� ����� �������, ��������� _n-_�������� ����� _n "_������". � ������� ������� ����� ���������, ��� ��������� �� ���������� �����, �. �. ��������� ����� ����������� ��������� ��� (������� �����); �������������, ����� ��������� ������ ����� ���� � ������ n. ����� �� ��� ����� ��������� �����, ��� ����������� � ���, ����� �������� ���� ������. ��� ������ �������� ��������� ��� �������� "������� ������": ��������� ����� �� ������ ������������� ������, ��� ����� ������� ����� � ���� ��� ������������� (� ���� ������, �� �� ������ �����). ��������, � ������������� ���� ��������� x5 - 4x - 2 = 0 ���� �������� ����� (������ ����������� - �������������, ��������� - �������������). ������, �� ����� ���������, ����� ����������, ��� ��� ����� ���� � ������ ���� ������������� ������. ����� ������ � ����� �������������� ������ � �������� �������� �������� ������ ��������. ����� �����, ��� y ��������� � ��������������� �������������� ����������� ����� ����� �������� ������ ������: ������ � ������ + bi ������ ���� �� ��������� ������ ����� � a - bi. ���������� ������ ������ � ����� ������� ������ ����� ����; ���, � �������� ������������, ��� �������� ���������, ���� ��������� �������������� ��������� ����� ������ ����� ����� (���� �� � �����������), � ������� �������������� ����� ������������, � ��� ��������� ������ �������, ��� ������� ����� ��������� �������� ���� ��������� (��. ����� - ������� ��������).

� ������ ������������� � ������������ ������� �������� �� � ������ ���������, � � ����� ������� ��������� � ����������� ������������. �������� ����� ������ ������� �������� ���������, �. �. ������� ��������� 1-� ������� � n ������������:

_a_11_x_1+...+_a_1n_x_n = _b_1,

_a_21_x_1+...+_a_2n_x_n = _b_2,

...............................

_a_m1_x_1+...+_a_mn_x_n = _b_m.

� ����� _x_1..., _x_n� - �����������, � ������������ �������� ���, ��� ������ ��� ��� ��������� �� ����� ��������� � ����� ������������. �������� ������ ��������� 1-� ������� ������������ �� ������ ���, ��� ��� - ����������. �� �������� (��������, ��� ��������� �������� � ��������������� �����������, ��� ������ ����������� � ������������ ����������� � �. �.) ����� ����� ���� � �������� ������ ����������, �������� ��������� ������� ����� ���������� (����� �� ������������ �������), ��� ��� ��������� � ������ ���������� �������� � ������ ����������� � ��������. �� ����� �����, ��� ������� ������ �������� ��������� ���������� ������������ ����� ��� ��������� ������� ������������� ���������� �����. ��� �. ������� (1700) ������� �������� �� ��, ��� ��� �������� ������ �������� ��������� �������� ������������ �������� �������, ��������� �� ������������� _a_ik � �������, ��� �� ���� ������������� (� ������ m = n) ������� �. �. ������������, ��� ������ ������� ����������� ������� �������� ���������. ������������ ����� �������, ��� �������, ����� ��������� ���������������� ��������, �. �. ������������, ��� �� ���� �� ������������� ������������ � ������ ������ �������� ���������. ������ ������ �������� ��������� � ������ ������ � ��������� ����� ����� ������� ������ ������� ����� - �������� �������.

� (�� ���������� ������ �. ������ � �. �. ������ �� 2-�� ���. ���).

����������� ��������� �������

����� ���������� ���������� ����������� � �������� �������, � ���� ����� ���������� ����������. ���� � 18 �. ���������� ����� ������� �������� � ����������, �� ��� � 19 �. ��� ����� ����������� ��� ��������� �������� ������, � ���� �������������� ������ ��������� ���� � �����, �������� �� ������� �� ���������� ������� ������, ��� ��������, �����������, ���������� � �.�. ������ ����� ������� ���������� ������ �������� ����� ���� ������ ����� ����������. ��� ��������� ������� � ������������� ������������� ����� ��������� �������������� ���������, ������������� �� �������� ������������ (������ ������� ������������ �����������, ������ ������������, ������ ��������� �������������� ������ � �. �.; ����� ����� - ������ ����������, ������ ��������������� ���������� � �. �.). �������� �� ����� ��������������, ���������� �������� ������ ������. ��� �������� ����������� ��������� �������� � ����������������� ���� �����, ������������ ���� � ����� ������. ��������� � ����������� ����� � �������� ���������� ��� �����, ������������ ������� ���������� �, ����� ����, ����� ������������� ���, ��� ��� ������������ �����, ����������� � ��������� �������� ������, ���������� ������������ ����� � ��� �� �������������� ���������.

� ����������� , ���������� ��� ������ �� ��������� ��� ������ ��������������� ���������, �������� ����� �� �������� ����������, ����������� ����� ������� � ������ ��� ���� ����������. ��� ���� ��������� � ����������, � ������� ��������� �������� ����� �������� ����������� ��������������. � ��������� ���������, �������� �� �������� �������� ������������, ��������� ����������, ��� ����� ���� ������ �������� ������ �������. ��� ����������� ���������� ��, ��� � ������ �������� ����������� �������� ��������, � �� ��������, ��� �������� ������������ ��� ��������. ���������� ��������� �� ������� �������, ��� ��� ����������. ���� �������� ������� (_a_+ b)2= �_2 + 2_�b + _b_2. �� ������� �������� ������� ��������: ( + b)2= (a + b)( + b) = (a + b)a + ( + b) b = (_a_2 + ba) + (ab + _b_2) = _a_2 + (ba + ab)+ b_2 = a_2 + 2_ab + b_2. ��� ����������� �� ������ ���������� ������� ����������������:. �( + b) = ca + cb (���� � ������ + b) � (a + b) = ac + bc (���� ������ b), ����� ��������������� ��� �������� ��������� ���������������� ���������, ������� ������������ ����� ���������������: ba = ab. ��� ������������ ����� �������, �������������� ������� b, �������� ������������; �����, ����� ��� ������������ ������� ��������, � ������� ���������� ��� �������� - �������� � ���������, ��������������� ������������� �����������, ���������� ������� ��������, � �� ��������. ������� ������� ��������� ������, ���� b ���������� ������� �� ��������� ��� � ������������, �������� ����������� ������ ��� ��������� ��������, ����� ��� �������� �����, ��������� - ��� ��������� ��������� ��������. ������ b ����� ���������� ������������� ������� (�. �. �����, ��� ab = ba, ��� ��� ������ ����� �� �����������), ��������� ����������������� �� ���� ����������� ���������� � �. �.

� �������� �������� ��� ��������������� ��������� � ������ ��������� ������ ����������� ���������� ����������, ������ �����������, �������� �� �������� ��������. ���������� �� ������� ��������, �� �������� ������������ �������� �������� ��� ����, �� �������� � ������� ���������, ����������� �������������� ����������, ��� �������������� �������. ����������� �������� ����� ������� � ����� ����� ��� �������������� �������������� ������: ������, �������� ������������, ����, ������ � �.�. ��������� ����������� � �������� �������� ������������ ����������� �������������� ������, � ����� ������������ ������� �������������� ������ ������, �� ������ ��� ����� ����� ������� (Q-�������, ������). ����� ����� �����������, �������� �������� ����� , ��������� ���������� �������������� ������� � ��. �������� ���������� �� �� ��������� (���������, �������������� ������, ������ �����, �������������� ���������, �������������� ����������, ������������� ������, � �. �.).

� �������� ������� ��������������� ��������� � ����� ��������� �������� ������. �������� � ������ ������������ (�. �. ����� (a * b) * = * (b * ) ��� ����� , b, �� ������; ���������� * ���������� ��������, ������� � ������ ��������� ����� ����� ������ ��������) � ���������� ��������, �.�. ��� ����� b �� ������ �������� ������������ , , �����, ��� * = b, * = b. ��������� ����� ����� �������: ������������ ���� ����� ����� ������������ ��������, ������������ ���� ������������ (����� � �������) ������������� ����� ������������ ���������. � ���� �������� �������� (�������� � ������, ��������� �� ������) ��������������. ����� ������ �������� ���������. ������������ ��������, ����������� ������ ������ ��� ���� � �����, �������� ������, ���� � �������� �������� ����� ���������������� ������������� ���� ��������. ����� ������ (������ ��������� ������) ����� ���� �����������. ��������, ����������� � ����� ������� �������� �. �. ����������� ������, �������� �������� ���� � � ����� ��� � ������ �������� ����. ������ ����� ���� ��������� (������ ��������� ����) � ������������ (������ ����� ����� �� ��������), ����������� (��� �� ������) � ������������ (������ �������� �����). ������ ����� ����� �������������, ������� ����������� �������������� �������, ������� �������� ������� ����������. �� ����� ������� ������������ �������� �������� , ��������� �������� ������������. ��� ���� ��������� ���������� �������������� ������� � ����� ���������� - ��������� � ���������� �� ����� (�������������� ��� �����������). ������������ �������� ������� (���������� ���������) �������� ������� ������, �������� ��������� ������������� ������������ �����������:

( + ) = ax + ��, ( + b) = ax + bx, 1×x = , a(bx) = ab(x);

����� b ���������� �����, - �������. ��������� �������� (� ������� ���������) �� ��������� � � ������������ �������� �������� ������������ � ������ ������� �����������. ������ ������, ������� ����� �����������, ���������� ������������� ����������� � ���� ���������������� �������� ������������. ��������� (�� ���������� ���� ����� �������� �������) ���������� ������� �������� ��������������� �������. ���� � ������ �������� ����������� � ����������� �������� ����������, ������� � ������������� ��������� � ������ ������ �������� ���������. ������ ������ � ������������� ���������� �������������� ������� ��������

� � ������ �������������� ��������, ��������� ����, ��. ��������������� ������ � ���������� ��� ���.

�. �.�������.

� ���.: ������� �������. ��������� �. �., ���������� � ������� � ������� ����, 2 ���., �., 1967; ������� �., ������� ���������� � ������� ����, �., 1961; ��������� �., ������� ���������� �� ������� �� �������� XIX ��������, ���. � ���., 2 ���., �., 1966.

�������� �����. ������ ., ���������, ���. � �����., �. - �., 1938; ������ �., �������� ����������, ��� ����� �� �������������� ������� � �������, ���. � ���., �., 1948; ����� �., ������������� ����������, ���. � ���., �. 1 - 2, ���. 1768 - 69; ����������� �. �., ������ �������� ���������, �. 4 - ��������� �� �������, �. - �., 1948: ����� �., ���������, ���. � �����., �. - �., 1936.

��������������� �����. ����� �., ���� ������ �������, 9 ���., �., 1968: �������� �. �., ������ �� �������� �������, 3 ���., �. , 1966: ������� �., ������ �������� �������, �. - �., 1948.

���������� �� ����� �������� �������. ���-���-������ �. �., ����������� �������, ���. � ���., 2 ���., �. 1 - 2, �. - �., 1947; ������� �., , ���. � �����., (��. 1 - 9), �., 1962 - 66; ����� �., ������ �� ����� �������, �., 1962.

���������� �� ����������� �������� �������. ����� �., ����������� ������ �����, 2 ���., �. - �., 1933; ����� �., ������ �����, 3 ���., �., 1967; ��������� �. �., ����������� ������, 2 ���., �., 1954; ��������� �. �., ������ ������ �����, �. 1 - 2, �. - �., 1934 - 37; ��������� �., ������ �����, ���. � ����., �., 1947.