0999とは何？ わかりやすく解説 Weblio辞書 (original) (raw)

無限に"9"の続く無限小数

数学において"0.999…"は、小数点の後に無限に"9"が続く循環十進小数である。

概要

実数として "0.999…" と"1"は等しくなることを示すことができる（ただし、0.9999など途中で終了する小数は1と等しいと言えない）。この証明は、実数論の展開・背景にある仮定・歴史的文脈・対象となる聞き手などに応じて、多様な数学的厳密性に基づいた定式化がある[注釈 1]。

循環する無限小数一般に言えることだが、0.999… の末尾の … は省略記号であり、続く桁も 9 であることを示す。省略記号の前の 9 の個数はいくつでもよく、0.99999… のように書いてもよい。あるいは循環節を明確にするために 0..9、0.9、0.(9) などと表記される。

一般に、ある数を無限小数で表すことも有限小数で表すこともできる。本稿で示されるように 0.999… と 1 は等価であるから、例えば 8.32 は 8.31999… と書いても同じ数を表す。十進数を例に採ったが、数が一意に表示されないことは別の底の位取り記数法でも生じ、また小数表示以外でも同様に起こり得る。

0.999… と 1 の等価性は、実数の体系（これは解析学では最も一般的に用いられる体系である）に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含む別の数体系もある。そのような体系の大半は、標準的な解釈（有限小数の極限としての解釈）の下で式 0.999… の値は 1 に等しくなるが、一部の体系においては記号 "0.999…" に別の解釈を与えて 1 よりも無限小だけ小さいようにすることができる。

算数・数学教育において、0.999… = 1 という関係（または類似の関係）が正しいことを教えることは一つの課題となっている。個別には例えば、1 のような簡単な数に対しても別の表示方法（この場合、0.999…）があることや、0.999… が数列の極限の簡便な記法であること、極限の値は必ずしも元の数列に含まれないこと、また極限という概念そのものの理解が難しいことなどが挙げられる。

代数的な証明

0.999… という実数を明確にとらえるには、やはり小数点以下の位がすべて 9 であることを利用する。位取り記数法で表された有限小数における"位ごとの四則演算"が無限小数に対しても適用できる、と見なすと、0.999… = 1 を初等的に導くことができる。

分数による証明

1/3 を小数表示すると、小数点以下の位は全て 3 であることを利用する。1/3 は 1 ÷ 3 の商であり、割り算の筆算により、循環小数 0.333… となる。ここで 3 は無限に続く。この小数点以下の各位は 3 倍するといずれも 9 となることから、有限小数のときと同様に各位への一斉な掛け算が可能とみなせば、無限小数 0.333… を 3 倍すると0.999… に等しい。一方、1/3 × 3 = 1 である。従って 0.999… = 1 である[注釈 2]。同様な別証明として、1/9 = 0.111… の両辺に 9 を掛けることでもできる。

0.333 … = 1 3 3 × 0.333 … = 3 × 1 3 ∴ 0.999 … = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}0.333\dots &={\frac {1}{3}}\\3\times 0.333\dots &=3\times {\frac {1}{3}}\\\therefore 0.999\dots &=1\end{aligned}}}

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以上の2つの証明で用いた、無数の桁に対する位ごとの操作（つまり、掛け算や引き算）を一斉に行う（つまり…の部分に行う）ことは、厳密性に欠け、その正当性が明らかではない。有限小数に関しては、この過程は実数の計算法則にのみ依存している。この操作が無限小数にも適用できることを証明するためには、次節 <#解析的な証明> に述べる実解析の手法を必要とする。

日本の数学教育においては、高校数学の数学Iで循環小数の足し算・引き算・10倍が公理として採用されているため、上記の代数的な操作は高校数学の範囲内では正しい証明とされる。

解析的な証明

0.999… という小数点以下の位に無数の 9 を加えていくという定義自体が解析的である。これが 1 に等しいことを厳密に証明するには、実解析の手法を必要とする。0.999… という無限小数を正確にとらえるには、小数部分の位が無数に並ぶことを明確に定義し直すことが必要となる。

差に着目した証明

0.999… が 1 に等しいことを証明するには、それらの差が 0 であることを証明すればよい。その分、無数に並ぶ 9 についての定義はぼやけるが、初等的かつ解析的に導くことができる。

（証明）

1 − 0.999 ⋯ = lim n → ∞ 1 − 0. 99 ⋯ 9 ⏟ n = lim n → ∞ 1 − ( 1 − 0. 00 ⋯ 1 ⏟ n ) = lim n → ∞ 0. 00 ⋯ 1 ⏟ n = lim n → ∞ { ( 1 10 ) n } = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}1-0.999\cdots &=\lim _{n\to \infty }1-0.\underbrace {99\cdots 9} _{n}\\&=\lim _{n\to \infty }1-(1-0.\underbrace {00\cdots 1} _{n})\\&=\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {00\cdots 1} _{n}\\&=\lim _{n\to \infty }\left\{\left({\frac {1}{10}}\right)^{n}\right\}\\&=0\qquad \qquad \end{aligned}}}

極限：1 に収束する四進法表示の数列 {0.3, 0.33, 0.333, …} を含む単位区間

等比級数の公式自体はオイラー以前の成果であるが、18世紀まではその導出がいずれも項別演算を証明なしで行われていた。1811年になってやっと、Bonnycastle の教科書 An Introduction to Algebra で等比級数に関する議論を行うことで 0.999… に関する項別操作を正当化している[4]。

19世紀には、それまでの自由すぎる無限和の計算に対する反動として、「級数はその部分和の極限として定義される」という、現在の数学でも用いられている定義が生み出された。このころの証明に基づいた微積分学や解析学の入門書においては、関連する定理を証明することによりこの等比級数もはっきりと計算されている[5]。

数列 {xn} において、番号 n を限りなく進ませると距離 |xn − x| が 0 に近づくときに、数列 {xn} の極限が x であると定義される。等式 0.999… = 1 自身は以下のように極限として表すことにより証明される。

0.999 ⋯ = lim n → ∞ 0. 99 ⋯ 9 ⏟ n = lim n → ∞ ∑ k = 1 n 9 10 k = lim n → ∞ ( 1 − 1 10 n ) = 1 − lim n → ∞ 1 10 n = 1 {\displaystyle 0.999\cdots =\lim _{n\to \infty }0.\underbrace {99\cdots 9} _{n}=\lim _{n\to \infty }\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}\displaystyle {\frac {9}{10^{k}}}=\lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{10^{n}}}\right)=1-\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{10^{n}}}=1}

区間縮小法：1 = 1.000… = 0.222…(3)

無限小数の小数部分を級数として直接計算する前述の導出に対して、それとは別に、もう一つの方法は、無限小数が取らない値の範囲を排除していくという方法である。

実数 x は閉区間 [0, 10]（すなわち 0 以上 10 以下）に属するとし、この区間 [0, 10] を一の位ごとの 10 個の区間 [0, 1], [1, 2], [2, 3], …, [9, 10] に分割（端点のみで重なる）する。実数 x はこのうちの少なくとも1つに属し、その区間の下限、例えば x が区間 [1, 2] に属するときには "1" を記録する。次に、属している区間 [1, 2] を小数第一位ごとに [1, 1.1], [1.1, 1.2], …, [1.8, 1.9], [1.9, 2] に分割し、x が属する区間の下限を記録する、という操作を繰り返すと _a_0, _a_1, _a_2, _a_3, … から決まる区間の減少列が生み出される。この数列から

x = a 0 . a 1 a 2 a 3 ⋯ {\displaystyle x=a_{0}.a_{1}a_{2}a_{3}\cdots }

4進整数（黒点）は−1 に収束する数列 {3, 33, 333, …} を含む。その十進の対応物が …999 = −1 である。

p進数は整数論が研究対象とする数体系である。実数と全く同様に、p進数はコーシー列を経由して有理数の完備化として作ることができる。ただしこの構成には、0 は 1 よりも p に近く、pn にはもっと近いという、（実数の構成のときとは）異なる距離を用いる。p進数は p が素数のとき体をなし、p が素数でないとき（10 はこの場合である）でも環をなす。したがって、p進数に足し算や掛け算のような計算を実行することができ、無限小は存在しない。

p進数には小数展開の類似を考えることができ、位が左へ進む（実数の小数展開とは逆に、右へは有限桁しか進めない）。10進展開 …999 を考える。一の位に 1 を加えることができるが、すると 0 だけが残されて繰り上がりが続き、その結果 1 + …999 = …000 = 0 となる。すなわち、…999 = −1 である[28]。もう一つの導出方法は等比級数を用いる。"…999" の意味をもつ等比級数は実数においては収束しないが、10進数では収束し、よく知られた公式を再び用いることができて

⋯ 999 = 9 + 9 ⋅ 10 + 9 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 3 + ⋯ = 9 1 − 10 = − 1 {\displaystyle \cdots 999=9+9\cdot 10+9\cdot 10^{2}+9\cdot 10^{3}+\dotsb ={\frac {9}{1-10}}=-1}

カントール集合での 1/4, 2/3, 1 の位置

実解析では、三進法での類似表現 0.222… = 1 は最も単純なフラクタルの一つ、カントール三進集合 (the middle-thirds Cantor set) の特徴づけに重要な役割を果たしている。

小数第 n 位の数字は、この構成における第 n 段階の点の位置に反映する。例えば、点 2/3 は通常の 0.2 または 0.2000… として表現される。なぜなら、それは最初の欠損部分の右側に位置し、それ以後のすべての欠損部分の左に位置するからである。また、点 1/3 は 0.1 ではなく 0.0222… として表現される。なぜなら、それは最初の欠損部分の左側に位置し、それ以後のすべての欠損部分の右側に位置するからである[39]。

9 の繰り返しはカントールのもう一つの仕事にさえも現れる。彼が1891年に対角線論法を適用して単位区間 [0, 1] の非可算性の適切な証明を与えたことを考慮しなければならない。このような証明ではある2つの実数が小数表現において異なることを言明することが必要とされる。したがって、0.2 と 0.1999… のような組を避けなければならない。簡単な方法においては、すべての数を無限小数で表すが、それに対する方法では 9 が最後に連続することを排斥する[注釈 8]。カントール独自の議論に近いといえる証明の変形では実際に2進表現を用いており、3進表現を2進表現に変えることによりカントール集合の非可算性を同様に証明することができる[40]。

典型的な誤解とその原因

数学の初学者はしばしば 0.999… と 1 が等しいことを理解できない。極限の概念や無限小の性質が日常の感覚と大きく異なっていることがその理由とされる。その共通の要因として次のようなものがある。

これらの考えは、通常の実数を扱う文脈においては誤っている。しかしながら、通常と異なる場面で適用するために発明された、もしくは、0.999… を理解するのに有益な反例としての、より精巧な数の体系構造においては、それらの考えの多くが部分的に正しいことが示される。

これらの要因の多くはデイヴィッド・トール (David Tall) 教授により発見された。教授は、自らが遭遇した大学生の誤解のいくつかについて、それを生徒に抱かせる原因となった指導法と認識の特徴を研究している。非常に多くの生徒がなぜ最初はこの等式を受け入れないのかを調べるために生徒を面接して、次のようなことを発見した[44]。

「生徒は 0.999… を、決まった値ではなく 1 に限りなく近づく数列として理解し続けようとする。その原因は『先生は小数点以下の桁数がいくつあるかをはっきりと教えていなかった』という指導法の欠陥、または『0.999… は 1 より小さい数の中で、存在しうる、1 に最も近い小数である』という認識である。」

初等的な証明の中で 0.333… = 1/3 の両辺を 3倍する方法は、0.999… = 1 であることを容認できない生徒に受け入れさせるための、最も有効な手段であるかのように見える。しかしながら、第1の等式を信じることと、第2の等式を信じないことの矛盾に直面すると、今度は第1の等式を疑い始める者も現れるし（後述も参照）、または単に不満を抱くだけの生徒もいる[45]。これより簡潔で有効な説明方法もなかなかない。厳密な定義を十分適用する能力のある生徒が、0.999… を含めてさらに進んだ数学の結果に驚いたとしても、なお直観的な想像に頼ってしまうことがある。例えば、ある解析学を学ぶ生徒は 0.333… = 1/3 であることを上限の定義を用いて証明することができるが、その後もなお、昔の筆算の理解に基づいて 0.999… < 1 であると主張した[46]。別の生徒は、1/3 = 0.333… であることを証明することができるが、分数による証明に直面して「論理」が数学の計算を征服していると主張する。

ジョセフ・メイザー (Joseph Mazur) は別の才能豊かな微積分学の生徒について語る。その生徒は「私が授業で言ったことにはほとんどすべて異議を唱えるが、自分の使っている計算機には決して異議を唱えない」。さらに、23 の平方根を計算することも含めて、数学をするのに必要なのは 9桁（程度）だと信じるようになった。その生徒は 9.999… = 10 であるという極限の議論に相変わらず不愉快な感じを抱いていたが、それは「乱暴な推測をする、無限概念の成長過程 (wildly imagined infinite growing process)」と呼ばれる[47]。

エド・デュビンスキー (Ed Dubinsky) による数学学習の理論 (APOS theory) の一部分として、デュビンスキーとその共同研究者 (2005) は、0.999… を「1 から無限に小さい距離だけ離れている数を表す有限で不確定の文字列」であると思う生徒は「無限小数の構成過程の完全な概念がまだ形成されていない」と述べた。たとえ 0.999… の構成過程の完全な概念を身につけた生徒であっても、まだその過程を（すでに持っている "1" の概念と同様の）一つの「対象」としてとらえ直すことができずに、0.999… という一つの過程と 1 という数の存在を矛盾するものととらえるかもしれない。デュビンスキーらはまた、「一つの対象としてとらえ直す」というこの精神的能力が、1/3 それ自体を数と見なしたり、自然数の集合それ自身を一つの対象として取り扱ったりすることと関係していると考えている[48]。

メディアでの議論

インターネットの登場に伴い、0.999… = 1 に関する論争は教育現場だけでなく、ニュースグループや電子掲示板など、普段はあまり数学に関係のない場所でも話題となることがある。ニュースグループ sci.math では、0.999… に関する議論は「流行のスポーツ」であり、それは FAQ で回答された問題の一つである[49]。その FAQ は 1/3 を用いる方法、10倍する方法、極限を用いる方法を簡潔に扱い、さらには同様にコーシー列にも言及している。

アメリカの新聞 Chicago Reader のコラム The Straight Dope の2003年版では、誤った概念に関して言及しつつ、1/3 や極限を通して 0.999… について次のように議論している。

「我々の中の類人猿的要素が、『0.999… は実際に_数_ を表しているのではなく、過程 を表している。一つの数を見つけるために我々はその過程を途中で断ち切らなければならない。その時点において 0.999… = 1 という概念は崩壊する。』と言って依然として抵抗している。

ナンセンスだ！[50]」

The Straight Dope は「他の掲示板…ほとんどがビデオゲーム」から独立した専用の掲示板で議論を載せている。同様の調子で、0.999… の問題は、アメリカのゲーム開発会社ブリザード・エンターテイメントの Battle.net フォーラムで最初の7年間にとても一般的な話題であることが分かったため、社長の Mike Morhaime は2004年4月1日の記者会見で 0.999… = 1 であると発表した。

「我々はこの問題に対しきっぱりと決着をつけることに大変興奮しています。我々は 0.999… が 1 に等しいのか等しくないのかについての、心痛や心配に立ち会ってきました。ここに次の証明を提示し、我々の顧客に対して、最終的に断固としてこの問題に対処できることを嬉しく思います[51]。」

続くプレスリリースで、極限に基づくものと 10 を掛けるものの2つの証明を提供している。

関連する問題

脚注

注釈

  1. ^ 例えば、最初の節 <#代数的な証明> に挙げる「代数的証明」は「正しい」証明だが、その証明の正当性は後の節 <#解析的な証明> に記す解析学的手法である極限の概念によって保証される。同様にそれら解析学的証明を「正しい」証明たらしめているのは実数の特質に他ならない。しかし普通は、実数の公理にまでいちいち遡らずにいくつかの性質を「認めて」、そこで切り上げるのである。もちろん実数の代替となる体系において、実数と異なる性質に基づけば、それら「証明」はそのどこかが崩され、「間違った」証明となり得る。
  2. ^ a b cf. 同様な議論の二進法版も以下にある。Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin's Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
  3. ^ 統合の歴史的な過程は以下を参照：Griffiths and Hilton (p.xiv) in 1970。また、再び Pugh (p.10) in 2001。両方とも実際には公理的解析論よりもデデキント切断を好んでいる。切断の方法の教科書については以下を参照：Pugh p.17 or Rudin p.17. 論理的視点については Pugh p.10, Rudin p.ix, or Munkres p.30
  4. ^ Enderton (p.113) は以下の記述を与えている。『デデキント切断の背景にあるアイディアは、有理数、つまり x より小さいすべての有理数の無限集合を与えられることによって実数 x が名づけられるということである。循環論法を避けるため、この方法で得られる有理数の集合が特徴づけられなければならない。』
  5. ^ 超準的な数の完全な取り扱いはロビンソンの Non-standard Analysis を参照。
  6. ^ Berlekamp, Conway, and Guy (pp.79-80, 307-311) は 1 と 1/3 について議論しており、さらに 1/ω について触れている。0.111… のゲームはバールカンプのルールに直接に従っており、それは以下に述べられている。A. N. Walker (1999年). “Hackenstrings and the 0.999⋯ =1 FAQ”. 2006年6月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2006年6月29日閲覧。
  7. ^ Richman pp.398-400. Rudin (p.23) は第1章の最後の練習問題として、この代替構造（ただし実数上）を選んでいる。
  8. ^ Maor (p.60) および Mankiewicz (p.151) は前者の方法を振り返る。Mankiewicz はそれがカントールの仕事だとしているが、最初の出所は定かではない。Munkres (p.50) は後者の方法に言及している。

出典

  1. ^ 佐藤得志「実数のN 進小数展開の具体的表示について」『宮城教育大学紀要』第53巻、2019年1月31日、149-158頁。 p.150 より
  2. ^ Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
  3. ^ Euler p.170
  4. ^ Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177
  5. ^ 例えば、J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31
  6. ^ この極限については例えば以下に従う： Rudin p.57, Theorem 3.20e。より直接的なアプローチについては、以下も参照：Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
  7. ^ Davies p.175; Smith and Harrington p.115
  8. ^ Beals p.22; I. Stewart p.34
  9. ^ Bartle and Sherbert pp.60-62; Pedrick p.29; Sohrab p.46
  10. ^ Apostol pp.9, 11-12; Beals p.22; Rosenlicht p.27
  11. ^ Apostol p.12
  12. ^ Rudin pp.17-20, Richman p.399, or Enderton p.119。正確には、この3人はこの切断をそれぞれ 1*, 1−, 1_R_ と呼んでいる。3人ともそれを伝統的な 1 の定義と同一視している。Rudin と Enderton が『デデキント切断』と呼ぶものを Richman は『nonprincipal なデデキント切断』と呼ぶことに注意。
  13. ^ Richman p.399
  14. ^ a b J J O'Connor and E F Robertson (2005年10月). “History topic: The real numbers: Stevin to Hilbert”. MacTutor History of Mathematics. 2006年8月30日閲覧。
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  38. ^ Lewittes pp.1-3; Leavitt 1967 pp.669, 673; Shrader-Frechette pp.96-98
  39. ^ Pugh p.97; Alligood, Sauer, and Yorke pp.150-152。Protter と Morrey (p.507) および Pedrick (p.29) はこの記述を練習問題として位置づけている。
  40. ^ Rudin p.50, Pugh p.98
  41. ^ Bunch, p.119; Tall and Schwarzenberger, p.6. 最後の提案は Burrell (p.28) による。すなわち、「おそらくすべての数の中で最も安心する数は 1 であろう。したがって、0.999… を 1 として扱うときにとりわけ不安を覚える。」
  42. ^ Tall and Schwarzenberger pp.6-7; Tall 2000 p.221
  43. ^ Tall and Schwarzenberger p.6; Tall 2000 p.221
  44. ^ Tall 2000 p.221
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  46. ^ Pinto and Tall p.5, Edwards and Ward pp.416-417
  47. ^ Mazur pp.137-141
  48. ^ Dubinsky 他 261-262
  49. ^ Richman (p.396) が述べている。Hans de Vreught (1994年). “sci.math FAQ: Why is 0.9999... = 1?”. 2006年6月29日閲覧。
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  53. ^ 例えば以下を参照。J.B. Conway's treatment of Möbius transformations, pp.47-57
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参考文献

関連項目

外部リンク

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