Раскрытие неопределённостей | это... Что такое Раскрытие неопределённостей? (original) (raw)

Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций, заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:

\infty-\infty \frac{\infty}{\infty} \frac{0}{0} ~0^0 1^\infty \infty^0 0\cdot\infty

по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов ~0^0, 1^\infty, \infty^0 пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

~0^0=e^{0\cdot ln{0}}=e^{0\cdot\infty}

~1^\infty=e^{\infty\cdot ln{1}}=e^{\infty\cdot 0}

~\infty^0=e^{0\cdot ln{\infty}}=e^{0\cdot\infty}

Для раскрытия неопределённостей типа \frac{\infty}{\infty} используется следующий алгоритм:

  1. Выявление старшей степени переменной;
  2. Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.

Для раскрытия неопределённостей типа \frac{0}{0} существует следующий алгоритм:

  1. Разложение на множители числителя и знаменателя;
  2. Сокращение дроби.

Для раскрытия неопределённостей типа \infty-\infty иногда удобно применить следующее преобразование:

Пусть f(x) \xrightarrow{x\to a} \infty и g(x) \xrightarrow{x\to a} \infty

\lim_{x \to a} [f(x)-g(x)]=[\infty-\infty] = \lim_{x \to a} \left ( \frac{1}{\frac{1}{f(x)}}- \frac{1}{\frac{1}{g(x)}}\right )= \lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{g(x)}\cdot\frac{1}{f(x)}}=\left [ \frac{0}{0} \right ]

Пример