Общее положение | это... Что такое Общее положение? (original) (raw)

Общее положение — словосочетание, употребляющееся в оборотах типа: «объекты находящиеся в общем положении имеют свойство S», «S есть свойство общего положения», «приведение объекта в общее положение», точный смысл которых зависит от контекста.

Обычно совокупность всех рассматриваемых объектов снабжается структурой, позволяющей считать некоторые подмножества «малыми», «пренебрежимыми» или, наоборот, «большими», «массивными»; тогда свойство считается «свойством общего положения», если обладающие им объекты образуют «большое» подмножество.

Обычно имеют в виду одну из следующих структур:

• алгебраического многообразия,
• дифференцируемого многообразия (возможного, бесконечномерного),
• топологические пространства, чаще всего пространства Бэра, в частности полные метрические пространства.
• пространства с мерой.

В этих случаях, «малыми» считаются соответственно: алгебраические подмногообразия (меньшей размерности), дифференцируемые подмногообразия и конечные или счётные объединения таковых, нигде не плотные множества или множества первой категории, множества меры нуль. Множество считается «большим», если дополнение к нему — «малое».

Примеры

• Точки на плоскости находятся в общем положении, если никакие три не лежат на одной прямой.
• На плоскости прямая и окружность в общем положении либо не пересекаются, либо пересекаются в двух точках. В данном случае объект есть пара — прямая и окружность. Совокупность всех таких пар естественно снабжаются всеми названными выше структурами, и общее положение можно понимать согласно любому из описанных вариантов.
• Гладкая функция общего положения является функцией Морса.
• Два подмногообразия дополнительной размерности в общем положении пересекаются трансверсально.