Полином Эрмита | это... Что такое Полином Эрмита? (original) (raw)

Полином Эрмита

Полином Эрмита

Многочлены Эрмита — определенного вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.

Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита.

Содержание

Определение

В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}\,\!;

в физике обычно используется другое определение:

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}\,\!.

Два определения, приведенные выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является "отмасштабированной" версией другого

H_n^\mathrm{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^\mathrm{prob}(\sqrt{2}\,x)\,\!.

Явные выражения для первых десяти многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):

H_0(x)=1\,

H_1(x)=x\,

H_2(x)=x^2-1\,

H_3(x)=x^3-3x\,

H_4(x)=x^4-6x^2+3\,

H_5(x)=x^5-10x^3+15x\,

H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15\,

H_7(x)=x^7-21x^5+105x^3-105x\,

H_8(x)=x^8-28x^6+210x^4-420x^2+105\,

H_9(x)=x^9-36x^7+378x^5-1260x^3+945x\,

H_{10}(x)=x^{10}-45x^8+630x^6-3150x^4+4725x^2-945\, .

Свойства

Ортогональность

H n(x) -- полином порядка n, где n = 0, 1, 2, 3, .... Полиномы этой последовательности попарно ортогональны относительно скалярного произведения, задаваемого выражением:

\int\limits_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{\mathit{nm}} (вероятностная версия)

или

\int\limits_{-\infty}^\infty H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2}\,dx={n!2^n}{\sqrt{\pi}}~\delta_{\mathit{nm}} (физическая версия)

где δ_nm_ -- Символ Кронекера, по определению равный 1, когда n = m и нулю во всех остальных случаях.

Таким образом, многочлены Эрмита образуют отрогональный базис в Гильбертовом пространстве функций, ограниченных в соответствующей норме

\int\limits_{-\infty}^\infty\left|f(x)\right|^2\,e^{-x^2/2}\,dx<\infty,.

Дифференциальное уравнение Эрмита

Многочлен Эрмита _n_-го порядка удовлетворяет дифференциальному уравнению Эрмита:

H_n''(x)-xH_n'(x)+nH_n(x)=0.\,\! (в теории вероятностей)

H_n''(x)-2xH_n'(x)+2nH_n(x)=0.\,\! (в физике)

Рекурсивное выражение

Последовательность многочленов Эрмита допускает рекурсивное определение:

H_{n+1}(x)=xH_n(x)-H_n'(x).\,\! (в теории вероятностей)

H_{n+1}(x)=2 xH_n(x)-H_n'(x).\,\! (в физике)

Применение

  1. Полиномы Эрмита применяются, в частности, в методе конечных элементов в качестве функций формы, что позволяет повысить гладкость получаемых приближенных решений.
  2. В квантовой механике полиномы Эрмита появляются при решении задачи квантового гармонического осциллятора

Ссылки

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Полином Эрмита" в других словарях: