Многочлен | это... Что такое Многочлен? (original) (raw)

Запрос «Полином» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Многочлен (или полином) от n переменных — это конечная формальная сумма вида

\sum_I c_I x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n},

где I=(i_1,i_2,\dots,i_n) есть набор из целых неотрицательных чисел (называется мультииндекс), c_I — число (называемое «коэффициент многочлена»), зависящее только от мультииндекса I.

Иначе говоря, многочленом называют сумму одночленов.

В частности, многочлен от одной переменной есть конечная формальная сумма вида

c_0 + c_1x^1 + \dots + c_nx^n.

где c_i фиксированные коэффициенты, а x — переменная.

С помощью многочлена выводятся понятия алгебраическое уравнение и алгебраическая функция.

Содержание

Изучение и применение

Изучение полиномиальных уравнений и их решений составляло едва ли не главный объект «классической алгебры». С изучением многочленов связан целый ряд преобразований в математике: введение в рассмотрение нуля, отрицательных, а затем и комплексных чисел, а также появление теории групп как раздела математики и выделение классов специальных функций в анализе.

Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций на компактных подмножествах евклидова пространства (см. аппроксимационная теорема Вейерштрасса), способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе.

Многочлены также играют ключевую роль в алгебраической геометрии, объектом которой являются множества, определённые как решения систем многочленов. Особые свойства преобразования коэффициентов при умножении многочленов используются в алгебраической геометрии, алгебре, теории узлов и других разделах математики для кодирования, или выражения многочленами свойств различных объектов.

Связанные определения

Полиномиальные функции

Пусть A есть алгебра над кольцом R. Произвольный многочлен p(x)\in R[x_1,x_2,\dots,x_n] определяет полиномиальную функцию

p_R:A\to A.

Чаще всего рассматривают случай A=R.

В случае, если R есть поле вещественных или комплексных чисел (а также любое другое поле с бесконечным числом элементов), функция f_p:R^n\to R полностью определяет многочлен p. Однако в общем случае это неверно, например: многочлены p_1(x)\equiv x и p_2(x)\equiv x^2 из \Z_2[x] определяют тождественно равные функции \Z_2\to\Z_2.

Виды многочленов

Свойства

Делимость

Неприводимые многочлены играют в кольце многочленов роль, сходную с ролью простых чисел в кольце целых чисел. Например, верна теорема: если произведение pq делится на неприводимый многочлен \lambda, то p или q делится на \lambda. Каждый многочлен, степени большей нуля, разлагается в данном поле в произведение неприводимых множителей единственным образом (с точностью до множителей нулевой степени).

Например, многочлен x^4-2, неприводимый в поле рациональных чисел, разлагается на три множителя в поле вещественных чисел и на четыре множителя в поле комплексных чисел.

Вообще, каждый многочлен от одного переменного x разлагается в поле вещественных чисел на множители первой и второй степени, в поле комплексных чисел — на множители первой степени (основная теорема алгебры).

Для двух и большего числа переменных этого уже нельзя утверждать. Над любым полем для любого n>2 существуют многочлены от n переменных, неприводимые в любом расширении этого поля. Такие многочлены называются абсолютно неприводимыми.

Вариации и обобщения

См. также

Литература