СЛАУ | это... Что такое СЛАУ? (original) (raw)

Система m линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида

$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_1\\ \dots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \\ \end{cases}$	(1)

Здесь _x_1, _x_2, …, x n — неизвестные, которые надо определить. _a_11, _a_12, …, a mn — коэффициенты системы — и _b_1, _b_2, … b m — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов (a ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно[1].

Система (1) называется однородной, если все её свободные члены равны нулю (_b_1 = _b_2 = … = b m = 0), иначе — неоднородной.

Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных.

Решение системы (1) — совокупность n чисел _c_1, _c_2, …, c n, таких что подстановка каждого c i вместо x i в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества.

Система (1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения _c_1(1), _c_2(1), …, c n(1) и _c_1(2), _c_2(2), …, c n(2) совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

_c_1(1) = _c_1(2), _c_2(1) = _c_2(2), …, c n(1) = c n(2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Содержание

1 Матричная форма
2 Методы решения
- 2.1 Прямые методы
- 2.2 Итерационные методы
3 Решение системы линейных алгебраических уравнений на VBA
4 См. также
5 Ссылки
6 Примечания

Матричная форма

Система линейных уравнений может быть представлена в матричной форме как:

![ \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ \vdots \ x_n \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} b_1 \ b_2 \ \vdots \ b_m \end{pmatrix} ](https://dic.academic.ru/pictures/wiki/files/56/84147a0bfa529c53531fa7bf51c15751.png)

или, согласно правилу перемножения матриц,

AX = B.

Если к матрице А прибавить столбец свободных членов, то А называется расширенной матрицей.

Методы решения

Прямые (или точные) методы, позволяют найти решение за определенное количество шагов. Итерационные методы, основаны на использовании повторяющегося процесса и позволяют получить решение в результате последовательных приближений

Прямые методы

Метод Гаусса
Метод Гаусса — Жордана
Метод Крамера
Матричный метод
Метод прогонки (для трёхдиагональных матриц)
Разложение Холецкого или метод квадратных корней (для положительно-определённых симметричных и эрмитовых матриц)

Итерационные методы

Решение системы линейных алгебраических уравнений на VBA

Option Explicit

Sub rewenie()

Dim i As Integer
Dim j As Integer
Dim r() As Double
Dim p As Double
Dim x() As Double
Dim k As Integer
Dim n As Integer
Dim b() As Double
Dim file As Integer
Dim y() As Double

file = FreeFile
Open "C:\data.txt" For Input As file
Input #file, n
ReDim x(0 To n * n - 1) As Double
ReDim y(0 To n - 1) As Double
ReDim r(0 To n - 1) As Double

For i = 0 To n - 1
    For j = 0 To n - 1
        Input #file, x(i * n + j)
    Next j
    Input #file, y(i)
Next i

Close #file


For i = 0 To n - 1
p = x(i * n + i)
    For j = 1 To n - 1
        x(i * n + j) = x(i * n + j) / p
    Next j
    y(i) = y(i) / p
        For j = i + 1 To n - 1
        p = x(j * n + i)
            For k = i To n - 1
                x(j * n + k) = x(j * n + k) - x(i * n + k) * p
            Next k
        y(j) = y(j) - y(i) * p
    Next j

Next i ' Верхнетреугольная матрица

For i = n - 1 To 0 Step -1 p = y(i) For j = i + 1 To n - 1 p = p - x(i * n + j) * r(j) Next j r(i) = p / x(i * n + i) Next i

' Обратный ход For i = 0 To n - 1 MsgBox r(i) Next i

End Sub

См. также

Ссылки

Решение СЛАУ онлайн

Примечания

↑ Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.

Wikimedia Foundation.2010.