Свойство Дарбу | это... Что такое Свойство Дарбу? (original) (raw)

Свойство Дарбу

Свойство Дарбу

Теоре́ма о сво́йстве Дарбу́ (Д-сво́йстве) для непреры́вной фу́нкции в математическом анализе утверждает, что непрерывный образ отрезка есть отрезок.

Содержание

Формулировка

Пусть дана непрерывная вещественнозначная функция на отрезке f:[a,b]\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R},\; f\in C\bigl( [a,b] \bigr). Тогда существуют c,d \in \mathbb{R} такие, что

f\bigl([a,b]\bigr) = [c,d].

Замечания

![f(x) = \left{ \begin{matrix} \sin \left(\frac{\pi}{2x}\right), & x \in (0,1]\ 0, & x = 0 \end{matrix} \right..](https://dic.academic.ru/pictures/wiki/files/56/82b5f25fbe29009713e42951d64aa913.png)

Тогда функция f обладает свойством Дарбу, но разрывна в точке x = 0.

Свойство Дарбу для монотонных функций

Пусть функция f:[a,b] \to \R монотонно возрастает или убывает на всём отрезке. Тогда она обладает свойством Дарбу тогда и только тогда, когда она непрерывна.

Обобщение

Свойство Дарбу выполнено не только для непрерывных функций, но и любой функции, являющейся производной другой функции. Последние включают в себя непрерывные функции. Пусть F:[a,b] \to \R — дифференцируемая внутри области определения, то есть F \in \mathcal{D}\bigl((a,b)\bigr), и F'(x) = f(x),\; x\in (a,b), а также дифференцируема справа в точке a: F' + (a) = f + (a) и слева в точке b: F' − (b) = f − (b). Тогда f\bigl([a,b]\bigr) является отрезком, замкнутым лучом или всей прямой (т.е. замкнуто и связно).

См. также

Wikimedia Foundation.2010.

Полезное

Смотреть что такое "Свойство Дарбу" в других словарях: