Монотонная функция | это... Что такое Монотонная функция? (original) (raw)

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Содержание

Определения

Пусть дана функция f:M \subset \R \to \R. Тогда

\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \ge f(y).

\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) > f(y).

\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) \le f(y).

\forall x,y\in M,\; x > y \Rightarrow f(x) < f(y).

(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.

Другая терминология

Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими, а убывающие функции невозраста́ющими. Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.

Свойства монотонных функций

Условия монотонности функции

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a,b). Точнее имеет место

  1. \forall x \in (a,b) \; f'(x) \ge 0;
  2. \forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) > 0.

Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

  1. \forall x \in (a,b) \; f'(x) \le 0;
  2. \forall (c,d) \subset (a,b)\; \exists x\in (c,d)\; f'(x) < 0.

Примеры

См. также