Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса | это... Что такое Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса? (original) (raw)

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса

Задачи тысячелетия
Равенство классов P и NP
Гипотеза Ходжа
Гипотеза Пуанкаре
Гипотеза Римана
Квантовая теория Янга — Миллса
Существование и гладкость решений уравненийНавье — Стокса
Свиннертона — Дайера

Существование и гладкость решений уравнений Навье — Стокса — одна из семи математических задач тысячелетия, сформулированных в 2000 году Математическим институтом Клэя.

Уравнения Навье — Стокса описывают движение вязкой ньютоновской жидкости и являются основой гидродинамики. Численные решения уравнений Навье — Стокса используются во многих практических приложениях. Однако в аналитическом виде решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях, поэтому нет полного понимания свойств уравнений Навье — Стокса. В частности, решения уравнений Навье — Стокса часто включают в себя турбулентность, которая остается одной из важнейших нерешенных проблем в физике, несмотря на её огромную важность для науки и техники.

Уравнения Навье — Стокса

В математике это система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любой размерности. В физике это система уравнений, которая в рамках механики сплошных сред описывает движение жидкостей или неразреженных газов.

Пусть \vec v(\vec x,\;t) — трёхмерный вектор скорости жидкости, p(\vec x,\;t) — давление. Тогда уравнения Навье — Стокса записываются так:

\frac{\partial\vec v}{\partial t}+(\vec v\cdot\nabla)\vec v=-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\Delta\vec v+\vec f(\vec x,\;t),

где ν > 0 — это кинематическая вязкость, ρ — плотность, \vec f(\vec x,\;t) — внешняя сила, \nabla — оператор набла и Δ — оператор Лапласа (лапласиан), который также обозначается, как \nabla\cdot\nabla. Отметим, что это векторное уравнение, то есть оно содержит три скалярных уравнения. Если обозначить компоненты векторов скорости и внешней силы, как

\vec v(\vec x,\;t)=(v_1(\vec x,\;t),\;v_2(\vec x,\;t),\;v_3(\vec x,\;t)),\qquad\vec f(\vec x,\;t)=(f_1(\vec x,\;t),\;f_2(\vec x,\;t),\;f_3(\vec x,\;t)),

то для каждого значения i=1,\;2,\;3 получается соответствующее скалярное уравнение Навье — Стокса:

\frac{\partial v_i}{\partial t}+\sum_{j=1}^3 v_j\frac{\partial v_i}{\partial x_j}=-\frac{1}{\rho}\frac{\partial p}{\partial x_i}+\nu\sum_{j=1}^3\frac{\partial^2 v_i}{\partial x_j^2}+f_i(\vec x,\;t).

Неизвестными величинами являются скорость \vec v(\vec x,\;t) и давление p(\vec x,\;t). Поскольку в трёхмерном случае получается три уравнения и четыре неизвестных (три компоненты скорости и давление), то необходимо ещё одно уравнение. Дополнительным уравнением является закон сохранения массы

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div} (\rho \vec v)=0.

Если среду считать несжимаемой, то это уравнение преобразуется в условие несжимаемости жидкости:

\mathrm{div} \vec v=0.

Ссылки

Wikimedia Foundation.2010.