Гипотеза Римана | это... Что такое Гипотеза Римана? (original) (raw)
Гипо́теза Ри́мана о распределении нулей дзета-функции Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.
В то время как не найдено какой-либо закономерности, описывающей распределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, что количество простых чисел, не превосходящих , — функция распределения простых чисел, обозначаемая — выражается через распределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.
Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе о вычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны в предположении верности гипотезы Римана.
Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решение каждой из которых Математический институт Клэя (Clay Mathematics Institute, Кембридж, Массачусетс) выплатит награду в один миллион долларов США. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана, учёный совет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпример окончательным решением проблемы, или же проблема может быть переформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнем случае автору контрпримера может быть выплачена небольшая часть награды).[1][2]
Содержание
- 1 Формулировка
- 2 Эквивалентные формулировки
- 3 История
- 4 Соображения об истинности гипотезы
- 5 Связанные проблемы
- 6 Интересные факты
- 7 См. также
- 8 Ссылки
- 9 Примечания
Формулировка
Дзета-функция Римана определена для всех комплексных и имеет нули в отрицательных чётных .
Из функционального уравнения и явного выражения при , где — функция Мёбиуса, следует, что все остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе симметрично относительно так называемой «критической линии» .
Гипотеза Римана
Гипотеза Римана утверждает, что:
Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть, равную .
Обобщённая гипотеза Римана
Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самого утверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.
Эквивалентные формулировки
В 1901 году Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентна следующему утверждению о распределении простых чисел:
при
Ещё несколько эквививалентных формулировок:
- Гипотеза Римана эквивалентна следующему равенству: .
- Если гипотеза Римана неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение. Отсюда следует, что если отрицание гипотезы Римана недоказуемо в арифметике Пеано, то гипотеза Римана верна.
- Гипотеза Римана также эквивалентна утверждению о том, что следующее диофантово уравнение не имеет решений в неотрицательных целых числах:
где — некоторый большой фиксированный целочисленный коэффициент (который, в принципе, можно указать в явном виде), а остальные буквы обозначают переменные. Степень этого уравнения может быть понижена до 4 ценой увеличения количества переменных.[5][6][7][8][9]
История
В 1896 году Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нули дзета-функции не могут лежать на прямых и .
В 1900 году Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23 нерешённых проблем как часть восьмой проблемы, совместно с гипотезой Гольдбаха.
В 1914 году Харди доказал, что на критической линии находится бесконечно много нулей, а позже совместно с Литлвудом дал нижнюю оценку доли нулей, лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.
Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг к другу. Это свойство известно как «явление Лемера».[10]
Титчмарш и Ворос в 1987 году показали, что дзета-функция может быть разложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложение Адамара.
На 2004 год проверены более 1013 первых нулей.[11]
Группа математиков Университета Пердью (США) под руководством Луи де Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана,[12] которое, однако, оказалось неверным.[1]
Соображения об истинности гипотезы
В обзорных работах (Bombieri 2000, Conrey 2003, Sarnak 2008) отмечается, что данные в пользу истинности гипотезы Римана сильны, но оставляют место для обоснованных сомнений. Отдельные авторы, однако, убеждены в ложности гипотезы (в частности, так считал Джон Литлвуд).
Среди данных, позволяющих предполагать истинность гипотезы, можно выделить успешное доказательство сходных гипотез (в частности, гипотезы Римана о многообразиях над конечными полями[13]). Это наиболее сильный теоретический довод, позволяющий предположить, что условие Римана выполняется для всех дзета-функций, связанных с автоморфными отображениями (англ.)русск., что включает классическую гипотезу Римана. Истинность аналогичной гипотезы уже доказана[14] для дзета-функции Сельберга (англ.)русск., в некоторых отношениях сходной с функцией Римана, и для дзета-функции Госса (англ.)русск. (аналог дзета-функции Римана для функциональных полей).
С другой стороны, некоторые из дзета-функций Эпштейна не удовлетворяют условию Римана, хотя они имеют бесконечное число нулей на критической линии. Однако эти функции не выражаются через ряды Эйлера и не связаны напрямую с автоморфными отображениями.
К «практическим» доводам в пользу истинности Римановской гипотезы относится вычислительная проверка большого числа нетривиальных нулей дзета-функции в рамках проекта ZetaGrid.
Связанные проблемы
Две гипотезы Харди-Литтлвуда
В 1914 году Годфри Харольд Харди доказал,[15] что функция имеет бесконечно много вещественных нулей.
Пусть есть количество вещественных нулей, а количество нулей нечётного порядка функции , лежащих на интервале ![(0,T]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/5660568efb6ab2eb02a1ee97dd59ba56.png).
Две гипотезы Харди и Литлвуда[16] (о расстоянии между вещественными нулями и о плотности нулей на интервалах ![(T,T+H]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/fa2b3ed87882d01eb10f80daebb84c0b.png) при достаточно большом , и как можно меньшем значении , где сколь угодно малое число), определили два направления в исследовании дзета-функции Римана:
- Для любого существует , такое что при и интервал ![(T,T+H]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/fa2b3ed87882d01eb10f80daebb84c0b.png) содержит нуль нечётного порядка функции .
- Для любого существуют такие и , что при и справедливо неравенство .
Гипотеза А. Сельберга
В 1942 году Атле Сельберг исследовал проблему Харди-Литтлвуда 2 и доказал, что для любого существуют и , такие что для и справедливо неравенство .
В свою очередь, Атле Сельберг высказал гипотезу,[17] что можно уменьшить показатель степени для величины .
В 1984 году А. А. Карацуба доказал[18][19][20], что при фиксированном с условием , достаточно большом и , , промежуток содержит не менее вещественных нулей дзета-функции Римана . Тем самым он подтвердил гипотезу Сельберга.
Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядку роста при .
В 1992 году А. А. Карацуба доказал,[21] что аналог гипотезы Сельберга справедлив для «почти всех» промежутков ![(T,T+H]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/fa2b3ed87882d01eb10f80daebb84c0b.png), , где — сколь угодно малое фиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой, позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких» промежутках критической прямой, то есть на промежутках ![(T, T+H]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/fa2b3ed87882d01eb10f80daebb84c0b.png), длина которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степени . В частности, он доказал, что для любых заданных чисел , с условием почти все промежутки ![(T,T+H]](https://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/fa2b3ed87882d01eb10f80daebb84c0b.png) при содержат не менее нулей функции . Эта оценка весьма близка к той, что следует из гипотезы Римана.
Интересные факты
- Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснётся. Математик ответил, что первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.
- Гипотеза Римана относится к знаменитым открытым проблемам математики, в число которых в своё время входила и теорема Ферма. Как известно, Ферма сделал запись о том, что доказал свою теорему, не оставив самого доказательства, и тем самым бросил вызов следующим поколениям математиков. Британский математик Г. Х. Харди использовал ситуацию с этими проблемами для обеспечения собственной безопасности во время морских путешествий. Каждый раз перед отправкой в путешествие он отправлял одному из своих коллег телеграмму: ДОКАЗАЛ ГИПОТЕЗУ РИМАНА ТЧК ПОДРОБНОСТИ ПО ВОЗВРАЩЕНИИ ТЧК. Харди считал, что бог не допустит повторения ситуации с теоремой Ферма и позволит ему благополучно вернуться из плавания.[22]
См. также
Ссылки
- Воронин С. М., Карацуба А. А. Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994.
- Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.
- Николенко С. Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // Компьютерра. — 2005. — В. 35.
- Bombieri, Enrico (2000), «The Riemann Hypothesis - official problem description», Clay Mathematics Institute, <http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/riemann.pdf>. Проверено 25 октября 2008.
- Conrey, Brian (2003), "«The Riemann Hypothesis»", Notices of the American Mathematical Society: 341–353, <http://www.ams.org/notices/200303/fea-conrey-web.pdf>
- Sarnak, Peter (2008), "Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis", in Borwein, Peter; Choi, Stephen & Rooney, Brendan et al., «The Riemann Hypothesis», CMS Books in Mathematics, New York: Springer, сс. 107–115, ISBN 978-0387721255, <http://www.claymath.org/millennium/Riemann_Hypothesis/Sarnak_RH.pdf>
Примечания
- ↑ 1 2 Weisstein, Eric W. Riemann Hypothesis (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Rules for the Millennium Prizes
- ↑ Jeffrey C. Lagarias (2002). «An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis». The American Mathematical Monthly 109 (6): 534–543. DOI:10.2307/2695443.
- ↑ Andrew Odlyzko, Herman te Riele (1985). «Disproof of the Mertens conjecture». Journal für die reine und angewandte Mathematik 357: 138–160.
- ↑ Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done
- ↑ Матиясевич Ю. В. Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993.
- ↑ Jones J. P., Undecidable diophantine equations
- ↑ Martin Davis, Diophantine Equations & Computation
- ↑ Martin Davis, The Incompleteness Theorem
- ↑ Weisstein, Eric W. Lehmer's Phenomenon (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Ed Pegg Jr. «Ten Trillion Zeta Zeros» (англ.)
- ↑ Purdue mathematician claims proof for Riemann hypothesis. Purdue News
- ↑ Deligne P. (1974). «La conjecture de Weil. I». Publications Mathématiques de l'IHÉS 43: 273–307. DOI:10.1007/BF02684373.
- ↑ Sheats J. (1998). «The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for Fq[T]». Journal of Number Theory 71 (1): 121–157. DOI:10.1006/jnth.1998.2232.
- ↑ Hardy, G.H. (1914). «Sur les zeros de la fonction ». Comp. Rend. Acad. Sci. (158): 1012–1014.
- ↑ Littlewood, J.E. (1921). «The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line». Math. Zeits. (10): 283–317.
- ↑ Selberg, A. (1942). «On the zeros of Riemann's zeta-function». Shr. Norske Vid. Akad. Oslo (10): 1–59.
- ↑ Карацуба, А. А. (1984). «О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой». Изв. РАН. Сер. матем. (48:3): 569–584.
- ↑ Карацуба, А. А. (1984). «Распределение нулей функции ζ(1/2 + it)». Изв. РАН. Сер. матем. (48:6): 1214–1224.
- ↑ Карацуба, А. А. (1985). «О нулях дзета-функции Римана на критической прямой». Труды МИАН (167): 167–178.
- ↑ Карацуба, А. А. (1992). «О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой». Изв. РАН. Сер. матем. (56:2): 372–397.
- ↑ С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8