Аксиоматика вещественных чисел | это... Что такое Аксиоматика вещественных чисел? (original) (raw)

Аксиоматика вещественных чисел

Аксиома́тика веще́ственных чи́сел — система аксиом, один из способов определения вещественных (действительных) чисел.

Далее символ \and обозначает логическое «и».

Содержание

Аксиомы сложения

На множестве вещественных чисел, обозначаемом через \mathbb{R} (так называемую R рубленую), введена операция сложения («+»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x + y из этого же множества, называемый суммой x и y.

  1. \forall x, y \in \mathbb{R}\quad (x + y) = (y + x) (коммутативность сложения);
  2. \forall x, y, z \in \mathbb{R}\quad (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);
  3. \exists 0\in \mathbb{R} \quad \forall x \in \mathbb{R}\quad x + 0 = x (существование нейтрального элемента по сложению — нуля);
  4. \forall x \in \mathbb{R}\quad \exists (-x): \quad x + (-x) = 0 (существование противоположного элемента).

Аксиомы умножения

На \mathbb{R} введена операция умножения («·»), то есть каждой паре элементов (x,y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x \cdot y (или, сокращённо, x y) из этого же множества, называемый произведением x и y.

  1. \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (x \cdot y) = (y \cdot x) (коммутативность умножения);
  2. \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) (ассоциативность умножения);
  3. \exists 1\in \mathbb{R}\backslash \{0\} \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad x\cdot 1=x (существование нейтрального элемента по умножению — единицы);
  4. \forall x\in\mathbb{R}\backslash \{0\} \quad \exists x^{-1}: \quad x\cdot x^{-1}=1 (существование обратного элемента).

Связь сложения и умножения

  1. \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z (дистрибутивность относительно сложения).

Аксиомы порядка

На \mathbb{R} задано отношение порядка «\leqslant\ » (меньше или равно), то есть для любой пары x, y из \mathbb{R} выполняется хотя бы одно из условий x \leqslant y или y \leqslant x.

  1. ( \forall x \in \mathbb{R} ): x \leqslant x (рефлексивность порядка);
  2. ( \forall x, y, z \in \mathbb{R}): x \leqslant y \and y \leqslant z \Rightarrow x \leqslant z (транзитивность порядка);
  3. ( \forall x, y \in \mathbb{R}): x \leqslant y \and y \leqslant x \Rightarrow x=y (антисимметричность порядка).

Связь отношения порядка и сложения

( \forall x,y,z \in \mathbb{R} ): x \leqslant y \Rightarrow x+z \leqslant y+z.

Связь отношения порядка и умножения

( \forall x, y, z \in \mathbb{R} ): x \leqslant y \and 0 \leqslant z \Rightarrow x \cdot z \leqslant y \cdot z.

( \forall x, y, z \in \mathbb{R} ): x \leqslant y \and z \leqslant 0 \Rightarrow y \cdot z \leqslant x \cdot z

Аксиома непрерывности

( \forall X, Y \subset \mathbb{R}, X \neq \emptyset, Y \neq \emptyset )( \forall x \in X )( \forall y \in Y, x \leqslant y )( \exists c \in \mathbb{R} ): x \leqslant c \leqslant y.

Комментарий

Эта аксиома означает, что если X и Y — два непустых множества вещественных чисел такие, что любой элемент из X не превосходит любого элемента из Y, то между этими множествами можно вставить вещественное число. Для рациональных чисел эта аксиома не выполняется; классический пример: рассмотрим положительные рациональные числа и отнесём к множеству X те числа, квадрат которых меньше 2, а прочие — к Y. Тогда между X и Y нельзя вставить рациональное число (\sqrt{2} не является рациональным числом).

Эта ключевая аксиома обеспечивает плотность \mathbb{R} и тем самым делает возможным построение математического анализа. Для иллюстрации её важности укажем на два фундаментальных следствия из неё.

Следствия аксиом

Непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, например,

Литература

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation.2010.