Уравнение Гамильтона — Якоби | это... Что такое Уравнение Гамильтона — Якоби? (original) (raw)
В физике и математике, уравнение Гамильтона — Якоби
Здесь S обозначает классическое действие, — классический гамильтониан, q i — обобщенные координаты.
Непосредственно относится к классической (не квантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).
В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.
Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, но представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы s, в отличие от 2_s_ уравнений Гамильтона и s уравнений Эйлера — Лагранжа.
Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить задачу Кеплера.
Каноническое преобразование
Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой генерирующей функции S(q,p',t) (пренебрегая индексами), уравнения движения не изменяются для H(q, p, t) и H'(q',p',t)
Новые уравнения движения становятся
Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической генерирующей функции S, которая делает H' тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются и
Таким образом, в штрихованной системе координат, система совершенно стационарна в фазовом пространстве. Однако, мы еще не определили, при помощи какой генерирующей функции S достигается преобразование в штрихованную систему координат, таким образом мы используем тот факт что
Поскольку уравнение (1) даёт это можно записать
что является уравнением Гамильтона — Якоби.
Решение
Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают методом разделения переменных. Пусть некоторая координата (для определённости будем говорить о _q_1) и соответствующий ей импульс входят в уравнение в форме
Тогда можно положить
где α1 — произвольная постоянная, _g_1 — обратная функция, и решать уравнение Гамильтона — Якоби уже с меньшим числом переменных. Если процесс можно продолжить по всем переменным, то решение уравнения примет вид
где α_i_ — произвольные постоянные, k — константа интегрирования. Напомним, что при этом S является функцией конечной точки . Так как действие задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы, то его производные по координатам — это импульсы в новой системе координат, поэтому они должны сохраняться:
Совместно с уравнениями на импульсы это определяет движение системы.
Литература
- Статья в Физической энциклопедии
- Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 2-е издание М.: Наука, 1966.
- Добронравов В. В. Основы аналитической механики. М.: Высшая школа, 1976.
- Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 5-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2004. — 224 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-9221-0055-6
- Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1965.
- Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
- Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
- Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971.