Дифференциал (математика) | это... Что такое Дифференциал (математика)? (original) (raw)

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) — линейная часть приращения функции.

Содержание

Обозначения

Обычно дифференциал функции f обозначается df. Некоторые авторы предпочитают обозначать {\rm d}f шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором.

Дифференциал в точке x_0 обозначается d_{x_0}f, а иногда df_{x_0} или df[x_0], а также df, если значение x_0 ясно из контекста.

Соответственно, значение дифференциала в точке x_0 от h может обозначаться как d_{x_0}f(h), а иногда df_{x_0}(h) или df[x_0](h), а также df(h), если значение x_0 ясно из контекста.

Использование знака дифференциала

Определения

Для функций

Дифференциал функции f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} в точке x_0 \in \mathbb{R} может быть определён как линейная функция

d_{x_0}f(h) = f'(x_0) h,

где f'(x_0) обозначает производную f в точке x_0.

Таким образом df есть функция двух аргументов df\colon (x_0,h)\mapsto d_{x_0}f(h).

Дифференциал может быть определён напрямую, т.е., без привлечения определения производной как функция d_{x_0}f(h) линейно зависящая от h и для которой верно следующее соотношение

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(|h|).

Для отображений

Дифференциалом отображения f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m в точке x_0 \in \mathbb{R}^n называют линейный оператор d_{x_0}f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m такой, что выполняется условие

d_{x_0}f(h)=f(x_0 + h) - f(x_0) + o(|h|).

Связанные определения

Свойства

История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики за исключением нестандартного анализа.

Вариации и обобщения

Литература