Внешний дифференциал | это... Что такое Внешний дифференциал? (original) (raw)

Дифференциа́льная фо́рма порядка k или _k_-форма — кососимметрическое тензорное поле типа $(0,\;k)$ на касательном расслоении многообразия.

Дифференциальные формы были введены Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство k_-форм на многообразии M обычно обозначают Ω_k(M).

Содержание

1 Определения
- 1.1 Инвариантное
- 1.2 Через локальные карты
2 Связанные определения
3 Свойства
4 Примеры
5 Применения
6 Вариации и обобщения
7 Литература
8 См. также

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени k — это гладкое сечение _k_-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия.

Через локальные карты

_k_-формой на $\mathbb{R}^n$ будем называть выражение следующего вида

$\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

где $f_{i_1i_2\ldots i_k}$ — гладкие функции, d x i — дифференциал _i_-ой координаты x i (функция от вектора, возвращающая его координату с номером i ), а $\wedge$ — внешнее произведение. При смене координат, это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

Для k_-формы ω_k, её внешний дифференциал это (k + 1)-форма
$d\omega^k=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\;\dots,\;x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

$i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_n) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_n)$

Свойства

В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как
$\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\;\ldots,\;x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}$

где d x i — дифференциал _i_-ой координаты x j, а $\wedge$ — внешнее произведение.

Примеры

Применения

Векторный анализ

Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе Пусть I — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, и σ — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на M. Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на M. Тогда ротор и дивергенцию для полей на $\R^3$ можно представить как

$\operatorname{rot}\,v = \sigma\circ d\circ I (v)$

$\operatorname{div}\,v = \sigma\circ d\circ \sigma (v)$

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

$\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.$

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока имеет вид

$\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.$

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

$\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}$

$\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}$

где * — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма $* \mathbf{F}$ также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие M с заданными на нём симплектической формой ω и функцией H, называемой функцией Гамильтона. ω задаёт в каждой точке $X \in M$ изоморфизм I касательного T X M и кокасательного $T^{*}_{X}M$ пространств по правилу

$dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M$ ,

где d H — 1-форма дифференциала функции H. Векторное поле I d H на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций F и G на M определяется по правилу

[F,_G_] = ω(I d F,I d G)

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от k векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние _k_-формы на M со значениями в векторном расслоении $\pi\colon E \to M$ определяются как сечения тензорного произведения расслоений

$\left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E$

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение T M.

Литература

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1971.
Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
Постников М.М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.

См. также

Wikimedia Foundation.2010.