Соотношение Безу | это... Что такое Соотношение Безу? (original) (raw)

В теории чисел соотноше́ние Безу́ — соотношение между парой целых чисел и их наибольшим общим делителем, названное в честь французского математика Этьена Безу:

Пусть a, b — целые числа, хотя бы одно из которых не нуль. Тогда существуют такие целые числа x, y, что выполняется соотношение:

НОД(a,b) = x_·_a + y_·_b.

Другими словами, наибольший общий делитель чисел a, b можно всегда представить как линейную комбинацию a и b с целыми коэффициентами.

Соотношение НОД(a,b) = x_·_a + y_·_b называется соотношением Безу (для чисел a и b), а целые числа x, y — коэффициентами Безу.

Пример

НОД (12, 30) = 6. Соотношение Безу имеет вид:

$6=3 \cdot 12 + (-1) \cdot 30$

Следствие

Если числа a, b взаимно простые, то уравнение:

ax+by=1

имеет целочисленные решения. Этот важный факт облегчает решение диофантовых уравнений первого порядка.

Свойства

где d = НОД(a, b).

Обобщения

Соотношение Безу легко обобщается на случай, когда имеется более двух чисел:
Соотношение Безу может иметь место не только для целых чисел, но и в других коммутативных кольцах. Такие кольца называются кольцами Безу. Пример: формулировка для кольца многочленов:

История

Впервые данный факт опубликовал в 1624 году французский математик Клод Гаспар Баше де Мезириак для случая взаимно простых чисел[1]. Этьен Безу в конце XVIII века обобщил теорему, распространив её на кольцо многочленов.

См. также

Алгоритм Евклида

Примечания

↑ Claude Gaspard Bachet, sieur de Méziriac Problèmes plaisants et délectables // Problemes plaisans, qui se font par nombres. — 2nd ed.. — Pierre Rigaud & Associates, 1624. — P. 18-33.

Литература

Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с.
Калужнин Л. А. Основная теорема арифметики. — М.: Наука, 1969. — (Популярные лекции по математике).

Ссылки

Онлайн-калькулятор коэффициентов соотношения Безу.