Арифметическая прогрессия | это... Что такое Арифметическая прогрессия? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Прогрессия.

Арифмети́ческая прогре́ссия — числовая последовательность вида

$a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d, \ \ldots$ ,

то есть последовательность чисел (членов прогрессии), каждое из которых, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа (шага или разности прогрессии):

$a_n=a_{n-1} + d \quad$

Любой (n-й) член прогрессии может быть вычислен по формуле общего члена:

a_n=a_1 + (n-1)d

Арифметическая прогрессия является монотонной последовательностью. При d>0 она является возрастающей, а при d<0 — убывающей. Если d=0 , то последовательность будет стационарной. Эти утверждения следуют из соотношения $a_{n+1}-a_n=d$ для членов арифметической прогрессии.

Содержание

1 Свойства
2 Арифметические прогрессии высших порядков
3 Примеры
4 См. также
5 Ссылки

Свойства

Общий член арифметической прогрессии

Член арифметической прогрессии с номером может быть найден по формуле

a_n=a_1+(n-1)d , где a_1 — первый член прогрессии, — ее разность.

Доказательство

Пользуясь соотношением $a_{n+1}=a_n+d$ выписываем последовательно несколько членов прогрессии:

a_2=a_1+d

a_3=a_2+d=a_1+d+d=a_1+2d

a_4=a_3+d=a_1+2d+d=a_1+3d

a_5=a_4+d=a_1+3d+d=a_1+4d

Заметив закономерность, делаем предположение, что a_n=a_1+(n-1)d . С помощью математической индукции покажем, что предположение верно для всех $n \in \mathbb N$ :

База индукции (n=1) :

a_1=a_1+(1-1)d=a_1 — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k , то есть a_k=a_1+(k-1)d . Докажем истинность утверждения при n=k+1 :

$a_{k+1}=a_k+d=a_1+(k-1)d+d=a_1+kd$

Итак, утверждение верно и при n=k+1 . Это значит, что a_n=a_1+(n-1)d для всех $n \in \mathbb N$ .

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Последовательность $a_1, a_2, a_3, \ldots$ есть арифметическая прогрессия $\Leftrightarrow$ для ее элементов выполняется условие $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2$ .

Доказательство

Необходимость:

Поскольку $a_1, a_2, a_3, \ldots$ — арифметическая прогрессия, то для $n \geqslant 2$ выполняются соотношения:

$a_n=a_{n-1}+d$

$a_n=a_{n+1}-d$ .

Сложив эти равенства и разделив обе части на 2, получим $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ .

Достаточность:

Имеем, что для каждого элемента последовательности, начиная со второго, выполняется $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2$ . Следует показать, что эта последовательность есть арифметическая прогрессия. Преобразуем эту формулу к виду $a_{n+1}-a_n=a_n-a_{n-1}$ . Поскольку соотношения верны при всех $n \geqslant 2$ , с помощью математической индукции покажем, что $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ .

База индукции (n=2) :

a_2-a_1=a_3-a_2 — утверждение истинно.

Переход индукции:

Пусть наше утверждение верно при n=k , то есть $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ . Докажем истинность утверждения при n=k+1 :

$a_{k+1}-a_{k}=a_{k+2}-a_{k+1}$

Но по предположению индукции следует, что $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k$ . Получаем, что $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_k-a_{k-1}=a_{k+1}-a_k=a_{k+2}-a_{k+1}$ .

Итак, утверждение верно и при n=k+1 . Это значит, что $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}2, n \geqslant 2 \Rightarrow a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n$ .

Обозначим эти разности через . Итак, $a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d$ , а отсюда имеем $a_{n+1}=a_n+d$ для $n \in \mathbb N$ . Поскольку для членов последовательности $a_1, a_2, a_3, \ldots$ выполняется соотношение $a_{n+1}=a_n+d$ , то это есть арифметическая прогрессия.

Сумма первых членов арифметической прогрессии

Сумма первых членов арифметической прогрессии $S_n=a_1+a_2+ \ldots + a_n$ может быть найдена по формулам

$S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n$ , где a_1 — первый член прогрессии, a_n — член с номером , — количество суммируемых членов.

$S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}2 \cdot n$ , где a_1 — первый член прогрессии, — разность прогрессии, — количество суммируемых членов.

Доказательство

Запишем сумму двумя способами:

$S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n$

$S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1$ — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.

Теперь прибавим оба равенства, последовательно прибавляя в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:

$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)$

Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде $a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n$ . Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:

$a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n$

Получили, что каждое слагаемое не зависит от и равно 2a_1+(n-1)d . В частности, a_1+a_n=2a_1+(n-1)d . Поскольку таких слагаемых , то

$2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n$

Вторая формула для суммы получается подстановкой 2a_1+(n-1)d вместо a_1+a_n . Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.

Замечание:

Вместо a_1+a_n в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых $a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,\ldots,n$ , так как они все равны между собой.

Сходимость арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия $a_1, a_2, a_3, \ldots$ расходится при $d\ne 0$ и сходится при d=0 . Причем

$\lim_{n\rightarrow\infty} a_n=\left\{ \begin{matrix} +\infty,\ d>0 \\ -\infty,\ d<0 \\ a_1,\ d=0 \end{matrix} \right.$

Доказательство

Записав выражение для общего члена и исследуя предел $\lim_{n\rightarrow\infty} (a_1+(n-1)d)$ , получаем искомый результат.

Связь между арифметической и геометрической прогрессиями

Пусть $a_1, a_2, a_3, \ldots$ — арифметическая прогрессия с разностью и число a>0 . Тогда последовательность вида $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots$ есть геометрическая прогрессия со знаменателем a^d .

Доказательство

Проверим характеристическое свойство для образованной геометрической прогрессии:

$\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}= a^{a_n}, n\geqslant 2$

Воспользуемся выражением для общего члена арифметической прогрессии:

$\sqrt{a^{a_{n-1}}\cdot a^{a_{n+1}}}=\sqrt{a^{a_1+(n-2)d}\cdot a^{a_1+nd}}=\sqrt{a^{2a_1+2(n-1)d}}=\sqrt{(a^{a_1+(n-1)d})^2}=a^{a_1+(n-1)d}=a^{a_n}, n\geqslant 2$

Итак, поскольку характеристическое свойство выполняется, то $a^{a_1}, a^{a_2}, a^{a_3}, \ldots$ — геометрическая прогрессия. Ее знаменатель можно найти, например, из соотношения $q=\frac{a^{a_2}}{a^{a_1}}=\frac{a^{a_1+d}}{a^{a_1}}=a^d$ .

Арифметические прогрессии высших порядков

Арифметической прогрессией второго порядка называется такая последовательность чисел, что последовательность их разностей сама образует простую арифметическую прогрессию. Примером может служить последовательность квадратов натуральных чисел:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36…,

разности которых образуют простую арифметическую прогрессию с разностью 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11…

Аналогично определяются и прогрессии более высоких порядков. В частности, последовательность _n_-ных степеней образует арифметическую прогрессию _n_-го порядка.

Примеры

$1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}2$ .

См. также

Геометрическая прогрессия

Ссылки

Арифметическая прогрессия // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.