Монотонная последовательность | это... Что такое Монотонная последовательность? (original) (raw)

Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.

Определения

Пусть имеется множество , на котором введено отношение порядка.

Последовательность $~\{x_n\}$ элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним.

$~\{x_n\}$ — неубывающая $~ \Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \leqslant x_{n+1}$

Последовательность $~\{x_n\}$ элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего.

$~\{x_n\}$ — невозрастающая $~ \Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n \geqslant x_{n+1}$

Последовательность $~\{x_n\}$ элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий.

$~\{x_n\}$ — возрастающая $~ \Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n < x_{n+1}$

Последовательность $~\{x_n\}$ элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним.

$~\{x_n\}$ — убывающая $~ \Leftrightarrow ~ \forall n \in \N \colon x_n > x_{n+1}$

Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей.[1]

Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей.

Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной.

Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно.

Промежутки монотонности

Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров $n\in\mathbb N$ , а лишь для номеров из некоторого диапазона

$I=\{n\in\mathbb N\mid N_{-}\leqslant n<N_{+}\}$

(здесь допускается обращение правой границы $~N_{+}$ в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке , а сам диапазон называется промежутком монотонности последовательности.

Примеры

Последовательность натуральных чисел.
Последовательность Фибоначчи.
Геометрическая прогрессия с основанием .
Последовательность, сходящаяся к числу e.

Свойства

Ограниченность.
- Всякая неубывающая последовательность ограничена снизу.
- Всякая невозрастающая последовательность ограничена сверху.
- Всякая монотонная последовательность ограничена по крайней мере с одной стороны.
Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена с обеих сторон.(Теорема Вейерштрасса об ограниченных монотонных последовательностях)
- Сходящаяся неубывающая последовательность ограничена сверху своим пределом.
- Сходящаяся невозрастающая последовательность ограничена снизу своим пределом.

Примечания

↑ В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. А. Н. Тихонова. — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 68 — 105. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7

См. также

Монотонная функция