Тригонометрический ряд Фурье | это... Что такое Тригонометрический ряд Фурье? (original) (raw)
Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом в виде ряда
(1) |
---|
или используя комплексную запись, в виде ряда:
.
Содержание
- 1 Скалярное произведение и ортогональность
- 2 Классическое определение
- 3 Комплексная запись
- 4 Свойства тригонометрического ряда Фурье
- 5 См. также
- 6 Примечания
- 7 Литература
Скалярное произведение и ортогональность
Пусть , — две функции [пространства ](115171). Определим их скалярное произведение
Условие ортогональности
где — символ Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при или нулю в противном случае.
Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида , попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных :
и при всех целых неотрицательных ,
.
Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в [пространстве ](115171). Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида , то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).
Классическое определение
Тригонометрическим рядом Фурье функции называют функциональный ряд вида
(1) |
---|
где
Числа , и () называются коэффициентами Фурье функции . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты , и . Если умножить правую часть (1) на и проинтегрировать по промежутку , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент . Аналогично для
Ряд (1) сходится к функции в пространстве . Иными словами, если обозначить через частичные суммы ряда (1):
,
то их среднеквадратичное отклонение от функции будет стремиться к нулю:
.
Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).
Комплексная запись
Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем [пространство ](115171) комплекснозначных функций со скалярным произведением
.
Мы также рассматриваем систему функций
.
Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция может быть разложена по ним в ряд Фурье:
,
где ряд в правой части сходится к по норме в . Здесь
.
Коэффициенты : связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:
Свойства тригонометрического ряда Фурье
Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в [пространстве ](115171).
- Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:
- Справедливо равенство Парсеваля:
.
- Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:
- коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей:
- рассмотрим операцию свертки функций:
где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка на всю прямую. Тогда
См. также
Примечания
Литература
- Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
- Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
- Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.