Квадратичная форма | это... Что такое Квадратичная форма? (original) (raw)

Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора.

Содержание

Определение

Пусть \,L есть векторное пространство над полем \,K и e_1,e_2,\dots,e_n — базис в \,L.

Функция Q : L \to K называется квадратичной формой, если её можно представить в виде

Q(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j,

где x=x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n, а \,a_{ij} — некоторые элементы поля \,K.

Связанные определения

B(x,y)=\frac{1}{4}\,(Q(x+y)-Q(x-y)).

Эквивалентные квадратичные формы

Две квадратичные формы f=\begin{pmatrix} a,&b,&c \end{pmatrix} и g=\begin{pmatrix} p,&q,&r \end{pmatrix} называются эквивалентными, если найдется целочисленная матрица:

\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}

с определителем равным 1, переводящая матрицу f в матрицу g:

\begin{pmatrix} p & q \\ 0 & r \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \alpha & \gamma \\ \beta & \delta \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}

Поскольку эквивалентное преобразование не меняет детерминант формы, необходимым условием эквивалентности двух форм является равенство их детерминантов. Однако обратное неверно: среди форм с одинаковым дискриминантом может найтись конечное число неэквивалентных.

Редуцированные квадратичные формы

Положим \Delta любое положительное целое число, не являющееся квадратом какого-либо другого целого числа. Каждый класс неопределенных квадратичных форм с дискриминантом \Delta содержит набор канонических представлений, называющихся редуцированными формами. Квадратичная форма f=\begin{pmatrix} a,&b,&c \end{pmatrix} называется редуцированной, если \sqrt{ \Delta } -2|a| < b < \sqrt{ \Delta } .

Так же нетрудно заметить, что квадратичная форма является редуцированной тогда и только тогда, когда \sqrt{ \Delta } -2|c| < b < \sqrt{ \Delta } и, что число редуцированных квадратичных форм определенного дискриминанта конечно.

Квадратные, смежные и неоднозначные квадратичные формы

Две формы \begin{pmatrix} a,&b,&c \end{pmatrix} и \begin{pmatrix} a,&b',&c' \end{pmatrix} называются смежными, если выполняется условие b+b'\equiv 0(\mathrm{mod}\, 2c), например:

\begin{pmatrix} a,&b,&c \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} a,&-b,&c \end{pmatrix}

Также на множестве эквивалентных форм можно определить операцию умножения(композицию) тогда, если коэффициенты a и b взаимно-просты, \begin{pmatrix} a,&b,&ac \end{pmatrix}^2 \sim \begin{pmatrix} a^2,&-b,&c \end{pmatrix}

Квадратной формой называется квадратичная форма вида f = \begin{pmatrix} a,&b,&c^2 \end{pmatrix}, в которой третий коэффициент является полным квадратом. Из квадратичной формы f можно извлечь квадратный корень. Для вычисления корня заменим форму f на эквивалентную ей смежную форму f \sim \begin{pmatrix} c^2,&-b,&a \end{pmatrix}, потом извлечем квадратный корень на основании предыдущего определения. В итоге операция извлечения корня сведется к следующему:

g = f^{1/2} = \sqrt{\begin{pmatrix} a,&b,&c^2 \end{pmatrix}} = \sqrt{\begin{pmatrix} c^2,&-b,&a \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} c,&-b,&ac \end{pmatrix} [1]

Форма вида \begin{pmatrix} k,&kn,&c \end{pmatrix} называется неоднозначной. Если форма неоднозначна, то ее определитель делится на k: \ D=(kn)^2-4kc=k(kn^2-4c).

Свойства

Примеры

Примечания

  1. ↑ Ш.Т. Ишмухаметов Методы факторизации натуральных чисел, Казанский университет, 2011 стр 78

Литература