Векторное пространство | это... Что такое Векторное пространство? (original) (raw)
У этого термина существуют и другие значения, см. Пространство.
Ве́кторное (лине́йное) простра́нство — основной объект изучения линейной алгебры.
Содержание
- 1 Определение
- 2 Простейшие свойства
- 3 Связанные определения и свойства
- 4 Примеры
- 5 Дополнительные структуры
- 6 См. также
- 7 Литература
Определение
Линейное, или векторное пространство над полем
— это непустое множество
, на котором введены операции
- сложения, то есть каждой паре элементов множества
ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый
и
- умножения на скаляр (то есть элемент поля
), то есть любому элементу
и любому элементу
ставится в соответствие единственный элемент из
, обозначаемый
.
При этом на операции накладываются следующие условия:
, для любых
(коммутативность сложения);
, для любых
(ассоциативность сложения);
- существует такой элемент
, что
для любого
(существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности
не пусто;
- для любого
существует такой элемент
, что
(существование противоположного элемента относительно сложения).
(ассоциативность умножения на скаляр);
(унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).
(дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);
(дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).
Элементы множества называют векторами, а элементы поля
— скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.
Простейшие свойства
- Векторное пространство является абелевой группой по сложению.
- Нейтральный элемент
является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого
.
- Для любого
противоположный элемент
является единственным, что вытекает из групповых свойств.
для любого
.
для любых
и
.
для любого
.
Связанные определения и свойства
Подпространство
Алгебраическое определение: Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество линейного пространства
такое, что
само является линейным пространством по отношению к определенным в
действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как
. Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы
;
- для всякого вектора
, вектор
также принадлежал
, при любом
;
- для всяких векторов
, вектор
также принадлежал
.
Последние два утверждения эквивалентны следующему:
для всяких векторов , вектор
также принадлежал
для любых
.
В частности, пространство, состоящее из одного элемента , является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.
Свойства подпространств
.
В функциональном анализе в бесконечномерных пространствах особо выделяют замкнутые подпространства.
Базис. Размерность
- Конечная сумма вида
называется линейной комбинацией элементов с коэффициентами
.
Линейная комбинация называется нетривиальной, если хотя бы один из её коэффициентов отличен от нуля.
.
Линейная оболочка
Линейная оболочка подмножества
линейного пространства
— пересечение всех подпространств
, содержащих
.
Линейная оболочка является подпространством .
Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным . Говорят также, что линейная оболочка
натянута на множество
.
Линейная оболочка состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из
. В частности, если
— конечное множество, то
состоит из всех линейных комбинаций элементов
.
Если — линейно независимое множество, то оно является базисом
и тем самым определяет его размерность.
Примеры
Дополнительные структуры
- Нормированное векторное пространство
- Метрическое векторное пространство
- Топологическое векторное пространство
- Евклидово пространство
- Гильбертово пространство
См. также
- Линейный оператор
- Сопряжённое пространство
- Модуль над кольцом
- Выпуклый функционал
- Линейная независимость
- Конечномерное пространство
- Прямая сумма
Литература
- Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. изд. МЦНМО, 1998.