Гамма-функция | это... Что такое Гамма-функция? (original) (raw)

У этого термина существуют и другие значения, см. Гамма.

Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается $\Gamma(z)$ .

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Определения

График гамма-функции действительного переменного

Интегральное определение

Если вещественная часть комплексного числа положительна, то Гамма-функция определяется через интеграл

$~\Gamma(z)=\int\limits_0^{+\infty}\!t^{\,{\mathrm z}-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in\mathbb{C}\colon \mathrm{Re}(z)>0$

На всю комплексную плоскость функция аналитически продолжается через тождество

$~\Gamma(z+1)=z\Gamma(z).$

Последующие выражения служат альтернативными определениями Гамма-функции.

Определение по Гауссу

Оно верно для всех комплексных , за исключением 0 и отрицательных целых чисел

$\Gamma(z)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n! \,n^z}{z(z+1)(z+2)\cdots(z+n)}, \quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.$

Определение по Эйлеру

$\Gamma(z)=\frac{1}{z}\left(\prod\limits_{n=1}^\infty {\left(1+\frac{1}{n}\right)}^z{\left(1+\frac{z}{n}\right)}^{-1}\right)= \frac{1}{z} \prod_{n=1}^\infty \frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{\mathrm z}}{1+\frac{\mathrm z}{n}},\quad z\in\mathbb{C}\setminus\{0,-1,-2,\ldots\}.$