Уравнение Пуассона | это... Что такое Уравнение Пуассона? (original) (raw)

Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое, среди прочего, описывает

Оно названо в честь знаменитого французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.

Это уравнение имеет вид: \Delta \varphi = f,

где \Delta — оператор Лапласа или лапласиан, а f — вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.

В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:

\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме \nabla^2 и уравнение Пуассона принимает вид:

{\nabla}^2 \varphi = f.

Если f стремится к нулю, то уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа (уравнение Лапласа — частный случай уравнения Пуассона):

\Delta \varphi = 0.

Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».

Содержание

Электростатика

Уравнение Пуассона является одним из краеугольных камней электростатики. Нахождение φ для данного f — важная практическая задача, поскольку это обычный путь для нахождения электростатического потенциала для данного распределения заряда. В единицах системы СИ:

{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \varepsilon_0},

где \Phi \! — электростатический потенциал (в вольтах), \rho \! — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а \varepsilon_0 \! — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).

В единицах системы СГС:

{\nabla}^2 \Phi = - {4 \pi \rho}

В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:

\rho = 0, \,

и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

{\nabla}^2 \Phi = 0.

Потенциал точечного заряда

Потенциал, источником которого служит точечный заряд,

\Phi_q = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ q \over r }

- то есть кулоновский потенциал - есть по сути (а строго говоря при q = 1) функция Грина

\Phi_1 (x,y,z) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 }{ 1 \over r }

для уравнения Пуассона,

то есть решение уравнения

\Delta \Phi = - { 1 \over \varepsilon_0 }\delta(x)\delta(y)\delta(z)\

где \delta(x) - обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}.

В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

\Phi (x,y,z) = \int \rho(\xi,\eta,\zeta) \Phi_1(x-\xi,y-\eta,z-\zeta) d\xi d\eta d\zeta =

= \int { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } { \rho(\xi,\eta,\zeta) \over \sqrt{(x-\xi)^2+(y-\eta)^2+(z-\zeta)^2}} d\xi d\eta d\zeta.

Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда

Если мы имеем объёмную сферически симметричную плотность гауссового распределения заряда \rho(r) :

\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)},

где Q — общий заряд, тогда решение Φ (r) уравнения Пуассона:

{\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \varepsilon_0 }

даётся:

\Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

где erf(x) — функция ошибок. Это решение может быть проверено напрямую вычислением {\nabla}^2 \Phi. Заметьте, что для r, много больших, чем σ, erf(x) приближается к единице, и потенциал Φ (r) приближается к потенциалу точечного заряда { 1 \over 4 \pi \varepsilon_0 } {Q \over r} , как и можно было ожидать.

См. также

Ссылки